Determine as medidas dos ângulos de um triângulo, obtido pelos pontos de tangência do círculo inscrito com os lados de um triângulo ABC , sendo A=60^circ, widehatB=40^circ e widehatC=80^circ.

Passo 1

Temos o triângulo ABC com widehat A=60^circ, widehat B=40^circ, widehat C=80^circ. O círculo inscrito toca BC em D, CA em E e AB em F, formando o triângulo de contato DEF. Vamos usar a propriedade de que cada ângulo interno de DEF é dado por 90^circ menos metade do ângulo oposto em ABC.

Passo 2

Em detalhe, os ângulos de DEF são
widehat D ;=; 90^circ ;-;widehat A2, widehat E ;=; 90^circ ;-;widehat B2, widehat F ;=; 90^circ ;-;widehat C2

Passo 3

Substituindo widehat A=60^circ, widehat B=40^circ e widehat C=80^circ:
widehat D = 90^circ - 60^circ2 = 90^circ - 30^circ = 60^circ,
widehat E = 90^circ - 40^circ2 = 90^circ - 20^circ = 70^circ,
widehat F = 90^circ - 80^circ2 = 90^circ - 40^circ = 50^circ

Passo 4

Verificamos que
60^circ + 70^circ + 50^circ = 180^circ,
confirmando que são de fato os ângulos internos de um triângulo.

Resposta

(widehat D,;widehat E,;widehat F) = (60^circ,;70^circ,;50^circ)

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