Sejam
e R os raios das circunferências inscrita e circunscrita em um triângulo retângulo de catetos
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo retângulo de catetos
e
, com circunferência inscrita de raio
e circunscrita de raio
, e pede para provar que
. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras, a fórmula da área
de um triângulo, o semiperímetro
e as definições
Passo 2
Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa
do triângulo satisfaz
Passo 3
A área do triângulo é
. Assim, usando
vem
Passo 4
O semiperímetro vale
, e portanto
Note que
pois
. Logo
Passo 5
Somando
e
e multiplicando por 2, obtém–se
Resposta
Portanto,
.