Sejam r e R os raios das circunferências inscrita e circunscrita em um triângulo retângulo de catetos a e b. Prove que a+b=2(R+r).

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo retângulo de catetos a e b, com circunferência inscrita de raio r e circunscrita de raio R, e pede para provar que a+b=2(R+r). Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras, a fórmula da área A de um triângulo, o semiperímetro s e as definições
r=As, R=abc4A

Passo 2

Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa c do triângulo satisfaz
c = raiza^2 + b^2

Passo 3

A área do triângulo é A = ab2. Assim, usando
R = abc4A
vem
R = ab,c4,(ab/2) = c2

Passo 4

O semiperímetro vale s = a+b+c2, e portanto
r = As = ab/2(a+b+c)/2 = aba+b+c
Note que
aba+b+c = (a+b)^2-c^22(a+b+c) = a+b-c2,
pois (a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2)=2ab. Logo
r = a+b-c2

Passo 5

Somando R e r e multiplicando por 2, obtém–se
R + r = c2 + a+b-c2 = a+b2 Longrightarrow 2(R+r)=a+b

Resposta

Portanto, a+b=2(R+r).

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