Prove que a soma dos diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a um triângulo retângulo é igual à soma dos catetos desse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo retângulo cujos catetos valem a e b e cuja hipotenusa vale c, a soma dos diâmetros do círculo inscrito e do círculo circunscrito é igual a a+b. Vamos usar as fórmulas de:
  1. Área do triângulo retângulo: A = tfracab2.
  2. Semiperímetro: s = tfraca+b+c2.
  3. Raio do círculo inscrito: r = As.
  4. Raio do círculo circunscrito em triângulo retângulo: R = c2.

Passo 2

No caso do círculo circunscrito a um triângulo retângulo, o diâmetro Drm circ é o dobro do raio R. Mas em todo triângulo retângulo vale
R = c2
Logo,
Drm circ = 2R = 2cdot c2 = c

Passo 3

Para o círculo inscrito, o raio r é dado por
r = As = tfracab2tfraca+b+c2 = ab,a+b+c,
Agora observe que
ab,a+b+c, = (a+b-c)(a+b+c)2(a+b+c) = a+b-c2,
pois (a+b-c)(a+b+c)=a^2+b^2+2ab - c^2 =2ab (pela relação de Pitágoras). Assim
r = a+b-c2,
e o diâmetro do inscrito é
Drm insc = 2r = a+b-c

Passo 4

Somando os dois diâmetros:
Drm insc + Drm circ = (a+b-c) + c = a + b

Resposta

Como queríamos, a soma dos diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito é
a + b

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