Prove que a soma dos diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a um triângulo retângulo é igual à soma dos catetos desse triângulo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo retângulo cujos catetos valem
e
e cuja hipotenusa vale
, a soma dos diâmetros do círculo inscrito e do círculo circunscrito é igual a
. Vamos usar as fórmulas de:
- Área do triângulo retângulo:
. - Semiperímetro:
. - Raio do círculo inscrito:
. - Raio do círculo circunscrito em triângulo retângulo:
.
Passo 2
No caso do círculo circunscrito a um triângulo retângulo, o diâmetro
é o dobro do raio
. Mas em todo triângulo retângulo vale
Logo,
Passo 3
Para o círculo inscrito, o raio
é dado por
Agora observe que
pois
(pela relação de Pitágoras). Assim
e o diâmetro do inscrito é
Passo 4
Somando os dois diâmetros:
Resposta
Como queríamos, a soma dos diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito é