Prove que, se a, b, c são elementos de ordem p, q, r, respectivamente, da mesma P.G., então:
a^a-r cdot b^r-p cdot c^p-q=1

Passo 1

O enunciado diz que a, b e c são, respectivamente, o p-ésimo, o q-ésimo e o r-ésimo termos de uma mesma progressão geométrica. O conteúdo usado será a definição do termo geral de uma P.G.: se A é o primeiro termo e R a razão, o n-ésimo termo é dado por A,R^,n-1. Vamos expressar a, b e c nessa forma e então calcular
a^,q-r,cdot,b^,r-p,cdot,c^,p-q

Passo 2

Seja A o primeiro termo da P.G. e R a razão. Então
a = A,R^,p-1, b = A,R^,q-1, c = A,R^,r-1

Passo 3

Substituindo essas expressões no produto, temos
a^,q-r,cdot,b^,r-p,cdot,c^,p-q = l(A,R^,p-1r)^q-r,cdot,l(A,R^,q-1r)^r-p,cdot,l(A,R^,r-1r)^p-q

Passo 4

Agora separamos as potências de A e de R:
l(A^,q-r,A^,r-p,A^,p-qr);cdot;l(R^(p-1)(q-r),R^(q-1)(r-p),R^(r-1)(p-q)r)
Note que nos expoentes de A aparece
(q-r)+(r-p)+(p-q)=0,
logo A^0=1. E nos expoentes de R temos a soma
(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q) ;=;0
por desenvolver cada termo e cancelar. Logo R^0=1.

Resposta

1

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