Uma P.G. finita tem n termos. Sendo S a soma dos termos, S ’ a soma de seus inversos e P o produto dos elementos, prove que P^2=(SS^prime)^n.

Passo 1

O enunciado trata de uma progressão geométrica finita com n termos, soma dos termos S, soma dos inversos S' e produto dos termos P. O objetivo é mostrar que
P^2 = l(SS'r)^n
Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de soma e produto de uma PG de primeiro termo a e razão r.

Passo 2

Escrevemos a soma dos termos quando rneq1:
S = sumk=0^n-1 a,r^k = a,r^n-1r-1
No caso especial r=1 temos S=n,a, mas trataremos disso ao final.

Passo 3

Agora a soma dos inversos, para rneq1:
S' = sumk=0^n-11a,r^k = 1asumk=0^n-1r^-k = 1a,r^-n-1r^-1-1
Como r^-1-1=(1-r)/r, segue
S' = r,(1 - r^-n)a,(r-1)

Passo 4

Formamos o quociente e simplificamos:
SS' = a,dfracr^n-1r-1 dfracr,(1 - r^-n)a,(r-1) = a^2,(r^n-1)r,(1 - r^-n)
Mas
1 - r^-n = r^n-1r^n,
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SS' = a^2,r^,n-1

Passo 5

Calculamos o produto dos termos da PG:
P = prodk=0^n-1 a,r^k = a^n,r^sumk=0^n-1k = a^n,r^tfracn(n-1)2,
portanto
P^2 = a^2n,r^n(n-1)

Passo 6

Por outro lado,
l(SS'r)^n = l(a^2,r^,n-1r)^n = a^2n,r^n(n-1),
que coincide com P^2.
No caso r=1, temos S=n,a, S'=n/a e P=a^n, de onde
SS' = a^2, P^2 = a^2n,
e novamente l(S/S'r)^n=a^2n=P^2.

Resposta

Foi demonstrado que em toda PG finita de n termos vale
P^2 = l(SS'r)^n

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