Uma P.G. finita tem
termos. Sendo
a soma dos termos,
’ a soma de seus inversos e P o produto dos elementos, prove que
.
Passo 1
O enunciado trata de uma progressão geométrica finita com
termos, soma dos termos
, soma dos inversos
e produto dos termos
. O objetivo é mostrar que
Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de soma e produto de uma PG de primeiro termo
e razão
.
Passo 2
Escrevemos a soma dos termos quando
:
No caso especial
temos
, mas trataremos disso ao final.
Passo 3
Agora a soma dos inversos, para
:
Como
, segue
Passo 4
Formamos o quociente e simplificamos:
Mas
logo
Passo 5
Calculamos o produto dos termos da PG:
portanto
Passo 6
Por outro lado,
que coincide com
.
No caso
, temos
,
e
, de onde
e novamente
.
Resposta
Foi demonstrado que em toda PG finita de
termos vale