Determine a representaçāo decimal d́os números raiz5, raiz7 e raiz[3]2, até a terceira casa após a vírgula, usando o procedimento do teorema 2.

Passo 1

O enunciado pede para obter a aproximação decimal de raiz5, raiz7 e raiz[3]2 até a terceira casa após a vírgula, usando o método de extração de raízes (teorema 2), que consiste em construir dígito a dígito garantindo que o quadrado (ou o cubo) não ultrapasse o radicando.

Passo 2

Extraímos raiz5 por pares de dígitos ( 5 | 00 | 00 | ···) assim:
O primeiro dígito inteiro a satisfaz
a^2 <= 5 < (a+1)^2,
logo a=2 porque 2^2=4<=5<9. Resto 5-4=1.
Trazer o próximo par 00 forma 100. O divisor atual é 2cdot2=4; buscamos b tal que
(40 + b),b <= 100 < (40 + b+1)(b+1),
e b=2 pois 42cdot2=84<=100<135. Resto 100-84=16.
Trazer 00 forma 1600. Divisor 2cdot22=44; escolhe-se c em
(440 + c),c <= 1600 < (440 + c+1)(c+1),
dando c=3 porque 443cdot3=1329<=1600<1776. Resto 1600-1329=271.
Trazer 00 forma 27100. Divisor 2cdot223=446; para conferir o quarto dígito d temos 4460+d vezes d, mas só precisamos de três casas.
Assim,
raiz5approx 2,236

Passo 3

Extraímos raiz7 agrupando 7 | 00 | 00 | ···:
Inteiro a satisfaz a^2<=7<(a+1)^2, então a=2 (pois 2^2=4<=7<9), resto 7-4=3.
Trazer 00 to 300; divisor 2cdot2=4; b em
(40 + b),b <= 300 < (40 + b+1)(b+1),
é b=6 porque 46cdot6=276<=300<322. Resto 24.
Trazer 00 to 2400; divisor 2cdot26=52; c em
(520 + c),c <= 2400 < (520 + c+1)(c+1),
é c=4 pois 524cdot4=2096<=2400<2625. Resto 2400-2096=304.
Trazer 00 to 30400; divisor 2cdot264=528 daria quarto dígito, mas não precisamos.
Portanto
raiz7approx 2,645

Passo 4

Para raiz[3]2 usamos grupos de três dígitos: 2 | 000 | 000 | ··· e a regra do divisor 3,(parte até agora)^2é:
Primeiro dígito a faz a^3<=2<(a+1)^3, logo a=1 ( 1^3=1<=2<8), resto 2-1=1.
Trazer 000 to 1000; divisor 3cdot1^2=3; buscamos b em
(300 + b),b^2 <= 1000 < (300 + b+1)(b+1)^2,
encontrando b=2 pois (300+2)cdot2^2 = 302cdot4 = 1208>1000, mas b=1 301cdot1=301<=1000. Resto 1000-301=699.
Trazer 000 to 699000; divisor 3cdot(11)^2=3cdot121=363; c em
(3630 + c),c^2 <= 699000,
testando c=2: (3632)cdot4=14528<=699000; c=3: 3633cdot9=32697<=699000; c=4: 3634cdot16=58144<=699000; c=5: 3635cdot25=90875<=699000; c=6: 3636cdot36=130896<=699000; c=7: 3637cdot49=178213<=699000; c=8: 3638cdot64=232832<=699000; c=9: 3639cdot81=294759<=699000. Próximo c=10 é inválido. O maior dígito é c=9.
Ficamos com três casas decimais:
raiz[3]2approx 1,259

Resposta

raiz5approx 2,236 raiz7approx 2,645 raiz[3]2approx 1,259

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