Prove as seguintes afirmações:
Se n é ímpar, então varphi(2 n)=varphi(n)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se n é ímpar, então
varphi(2n)=varphi(n)
O que vamos usar é a definição da função totiente de Euler varphi e sua propriedade multiplicativa: se gcd(a,b)=1, então
varphi(ab)=varphi(a),varphi(b)

Passo 2

Como n é ímpar, temos
gcd(2,n)=1
Pela multiplicatividade de varphi em argumentos primos entre si, segue que
varphi(2n)=varphi(2),varphi(n)

Passo 3

Sabemos que, por definição, varphi(2)=1. Substituindo esse valor na expressão anterior obtemos a igualdade desejada, o que encerra a demonstração.

Resposta

varphi(2n)=varphi(n) quando n é ímpar.

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