Resolva os seguintes sistemas de congruências simultâneas:
x equiv 1(bmod 3), x equiv 2(bmod 5), 2 x equiv 3(bmod 7)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x equiv 1 pmod3, x equiv 2 pmod5, 2x equiv 3 pmod7
Como 3, 5 e 7 são coprimos, há solução única módulo 3cdot5cdot7=105. Vamos primeiro simplificar a terceira congruência encontrando o inverso de 2 em Z7. Como
2cdot4 = 8 equiv 1 pmod7,
multiplicamos 2xequiv3 por 4 e obtemos
x equiv 4cdot3 =12 equiv5 pmod7
Assim o sistema reduz-se a
x equiv 1 pmod3, x equiv 2 pmod5, x equiv 5 pmod7

Passo 2

Para resolver as duas primeiras, escrevemos
x = 1 + 3a
Substituindo em xequiv2pmod5
1 + 3a equiv 2 pmod5 Longrightarrow 3a equiv 1 pmod5
O inverso de 3 em Z5 é 2 (pois 3cdot2=6equiv1pmod5), logo aequiv2pmod5, ou seja a = 2 + 5b. Assim
x = 1 + 3(2+5b) = 7 + 15b

Passo 3

Restou impor xequiv5pmod7. Substituindo x=7+15b:
7 + 15b equiv 5 pmod7 Longrightarrow 15b equiv 5 pmod7
Como 15equiv1pmod7, segue bequiv5pmod7, ou seja b = 5 + 7c. Portanto
x = 7 + 15(5+7c) = 82 + 105c,
e daí
x equiv 82 pmod105

Resposta

x equiv 82 pmod105

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