Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
c) n !

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência
an = n!
não converge, ou seja, diverge. O conteúdo aqui é análise de sequência: usaremos as definições de sequência estritamente crescente e não limitada superiormente para concluir que ela diverge para +infty.

Passo 2

Mostramos que (an) é estritamente crescente. De fato, para todo ninN,
(n+1)! = (n+1)cdot n! > 1cdot n! = n!,
logo an+1 > an e a sequência cresce sem nunca diminuir.

Passo 3

Mostramos que (an) não é limitada superiormente. Seja M>0 um número real arbitrário. Basta escolher
N = llceil M rrceil + 1
de modo que N > M. Então, para todo n>= N,
an = n! ;>=; n ; >=; N ;>; M
Isso prova que, dado qualquer limite superior hipotético M, existe n tal que an > M.

Passo 4

Como (an) é estritamente crescente e não limitada superiormente, ela não pode convergir a nenhum número finito. Pelo contrário, cresce sem limite e diverge para +infty.

Resposta

A sequência ,n!, diverge, mais precisamente diverge para +infty.

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