Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
c)
!
c)
Passo 1
O enunciado pede para provar que a sequência
não converge, ou seja, diverge. O conteúdo aqui é análise de sequência: usaremos as definições de sequência estritamente crescente e não limitada superiormente para concluir que ela diverge para
.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente. De fato, para todo
,
logo
e a sequência cresce sem nunca diminuir.
Passo 3
Mostramos que
não é limitada superiormente. Seja
um número real arbitrário. Basta escolher
de modo que
. Então, para todo
,
Isso prova que, dado qualquer limite superior hipotético
, existe
tal que
.
Passo 4
Como
é estritamente crescente e não limitada superiormente, ela não pode convergir a nenhum número finito. Pelo contrário, cresce sem limite e diverge para
.
Resposta
A sequência
diverge, mais precisamente diverge para
.