Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
i) 1sen(n) (Difícil)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = 1sin(n)
não converge, isto é, diverge. O conteúdo envolve análise de sequências reais e o uso do fato de que pi é irracional, o que garante aproximações racionais arbitrariamente boas (teorema de Dirichlet). Vamos provar que (an) é não limitada, o que implica sua divergência.

Passo 2

Sabemos que uma sequência de reais diverge se for não limitada: para todo M>0 existe n tal que lvert anrvert > M. Logo, basta mostrar que l|1/sin(n)r| pode ficar maior que qualquer M>0.

Passo 3

Pelo teorema de Dirichlet sobre aproximação de irracionais, como pi é irracional existem infinitos pares (p,q)inZtimesN tais que
lvert pi - pqrvert < 1q^2
Multiplicando por q obtemos
lvert qpi - prvert < 1q
Defina então n = p e k = q. Note que
sin(n) =sinl(pr) =sinl(kpi + (p - kpi)r) =(-1)^k,sinl(p - kpir),
de onde
lvert sin(n)rvert =lvert sin(p-kpi)rvert <= lvert p - kpirvert =lvert qpi - prvert < 1q

Passo 4

Da última desigualdade segue
lvert 1sin(n)rvert > q
Como há tais pares (p,q) com q tão grande quanto quisermos, dado qualquer M>0 escolhemos q>M e obtemos um n=p satisfazendo lvert 1/sin(n)rvert>q>M. Logo l(1/sin(n)r) é não limitada.

Resposta

A sequência 1sin(n) diverge, pois seus termos tornam-se arbitrariamente grandes em módulo.

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