Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
i) (Difícil)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
não converge, isto é, diverge. O conteúdo envolve análise de sequências reais e o uso do fato de que é irracional, o que garante aproximações racionais arbitrariamente boas (teorema de Dirichlet). Vamos provar que é não limitada, o que implica sua divergência.
Passo 2
Sabemos que uma sequência de reais diverge se for não limitada: para todo existe tal que . Logo, basta mostrar que pode ficar maior que qualquer M>0.
Passo 3
Pelo teorema de Dirichlet sobre aproximação de irracionais, como pi é irracional existem infinitos pares (p,q)inZtimesN tais que
Como há tais pares (p,q) com q tão grande quanto quisermos, dado qualquer M>0 escolhemos q>M e obtemos um n=p satisfazendo lvert 1/sin(n)rvert>q>M. Logo l(1/sin(n)r) é não limitada.
Resposta
A sequência 1sin(n) diverge, pois seus termos tornam-se arbitrariamente grandes em módulo.
Cálculo - Armando Caputi e Daniel Miranda - Bases Matemáticas - 1ª Edição - Capítulo 8.2 - Ex. 8.21.i