Ex. 8.28 - Calcule os seguintes limites:
lim n infty(raiz4-1n-raiz4) n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limn to inftyl(raiz4 - tfrac1n - raiz4r),n
O conteúdo aqui é limite de sequência (ou de função de n) que gera uma indeterminação do tipo 0cdotinfty. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização da diferença de raízes.

Passo 2

Observamos que quando ntoinfty vem raiz4 - tfrac1nto2, logo o termo dentro do parêntese tende a 2-2=0 e o outro fator ntoinfty. Para eliminar a indeterminação, escrevemos
l(raiz4 - tfrac1n - 2r),n = raiz4 - tfrac1n - 2tfrac1n
Isso converte para uma forma tfrac00, mas vamos preferir racionalizar o numerador direto.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raiz4 - tfrac1n + 2:
(raiz4 - tfrac1n - 2),n = (raiz4 - tfrac1n - 2),nl(raiz4 - tfrac1n+2r)raiz4 - tfrac1n+2 = l(4 - tfrac1n - 4r),nraiz4 - tfrac1n+2 = -tfrac1n,nraiz4 - tfrac1n+2 = -1raiz4 - tfrac1n+2

Passo 4

Agora basta tomar o limite de
-1raiz4 - tfrac1n+2
quando ntoinfty. Como raiz4 - tfrac1nto2, temos
limntoinfty-1raiz4 - tfrac1n+2 = -12+2 = -14

Resposta

-tfrac14

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