Seja ABC um triângulo acutângulo
os pés das alturas. Prove que o ortocentro H do triângulo ABC é o incentro do triângulo
.
Passo 1
Vamos resumir o problema e identificar o que precisamos. Temos um triângulo agudo
e os pés das alturas
em
,
em
,
em
. O ponto
é o ortocentro de
, ou seja, a interseção das alturas.
Conteúdo: Geometria plana – triângulo ortico, incentro e bissetrizes.
Objetivo: provar que é o incentro do triângulo
, isto é, que
é a interseção das bissetrizes internas de
.
Conteúdo: Geometria plana – triângulo ortico, incentro e bissetrizes.
Objetivo: provar que
Passo 2
Primeiro, recorde as propriedades das alturas e dos pés:
.
pertence à reta
e
.
.
pertence à reta
e
.
.
pertence à reta
e
.
Ou seja, as três alturas de são as retas
, que se cruzam em
.
Ou seja, as três alturas de
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é a bissetriz interna de
. Basta provar
Observe:
- Como
é o pé da altura de em , temos . - Como
é o pé da altura de em , temos . - Como
é o pé da altura de em , temos .
Em
,
,
. Usando retas perpendiculares:
por construção de orientações de ângulos. De modo similar,
Mas em qualquer triângulo
agudo vale
? Não em geral! O truque é atentar para o sinal e a orientação correta dos ângulos: na verdade cada um desses “
– coisa” coincide e, depois de olhar a orientação, obtemos
E como
, segue
Logo
prova de que
bisseta
.
Passo 4
Por razões análogas, usando as outras duas alturas:
- A reta
bisseta . - A reta
bisseta .
Em cada caso, calculamos os ângulos análogos e usamos
para ver que as alturas dividem ao meio os ângulos do triângulo ortico.
Passo 5
Concluímos que as três alturas de
são exatamente as três bissetrizes internas de
. Como todas elas se encontram no ortocentro
, segue que
é o incentro de
.
Resposta
O ortocentro
do triângulo
é o incentro do triângulo ortico
.