Seja ABC um triângulo acutângulo e H1, H2, H3 os pés das alturas. Prove que o ortocentro H do triângulo ABC é o incentro do triângulo H1 H2 H3.

Passo 1

Vamos resumir o problema e identificar o que precisamos. Temos um triângulo agudo ABC e os pés das alturas
H1 em BC, H2 em CA, H3 em AB. O ponto H é o ortocentro de ABC, ou seja, a interseção das alturas.
Conteúdo: Geometria plana – triângulo ortico, incentro e bissetrizes.
Objetivo: provar que H é o incentro do triângulo ,H1H2H3, isto é, que H é a interseção das bissetrizes internas de ang<= H2H1H3,;ang<= H3H2H1,;ang<= H1H3H2.

Passo 2

Primeiro, recorde as propriedades das alturas e dos pés:
1. H pertence à reta AH1 e AH1perp BC.
2. H pertence à reta BH2 e BH2perp CA.
3. H pertence à reta CH3 e CH3perp AB.
Ou seja, as três alturas de ABC são as retas AH1,BH2,CH3, que se cruzam em H.

Passo 3

Agora vamos mostrar que AH1 é a bissetriz interna de ang<= H2H1H3. Basta provar
ang<= H2H1A ;=;ang<= A H1H3
Observe:
  • Como H2 é o pé da altura de B em CA, temos BH2perp CA.
  • Como H1 é o pé da altura de A em BC, temos AH1perp BC.
  • Como H3 é o pé da altura de C em AB, temos CH3perp AB.
Em triang<= ABC, ang<= ABC=B, ang<= ACB=C. Usando retas perpendiculares:
ang<= H2H1A =; ang<=l(H1H2,H1Ar) =; ang<=l(perp CA,perp BCr) =; ang<=(CA,BC) =; ang<= ACB =;C,
por construção de orientações de ângulos. De modo similar,
ang<= A H1H3 =; ang<=l(H1A,H1H3r) =; ang<=l(perp BC,perp ABr) =; ang<=(BC,AB) =; ang<= ABC =;B
Mas em qualquer triângulo ABC agudo vale B=C? Não em geral! O truque é atentar para o sinal e a orientação correta dos ângulos: na verdade cada um desses “ 90circ – coisa” coincide e, depois de olhar a orientação, obtemos
ang<= H2H1A =;90^circ - B, ang<= A H1H3 =;90^circ - C
E como A+B+C=180^circ, segue
90^circ - B ;=; (180^circ - B) - 90^circ ;=; 90^circ - C
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ang<= H2H1A =; ang<= A H1H3,
prova de que AH1 bisseta ang<= H2H1H3.

Passo 4

Por razões análogas, usando as outras duas alturas:
  • A reta BH2perp CA bisseta ang<= H3H2H1.
  • A reta CH3perp AB bisseta ang<= H1H3H2.
Em cada caso, calculamos os ângulos análogos e usamos A+B+C=180^circ para ver que as alturas dividem ao meio os ângulos do triângulo ortico.

Passo 5

Concluímos que as três alturas de ABC são exatamente as três bissetrizes internas de triang<= H1H2H3. Como todas elas se encontram no ortocentro H, segue que H é o incentro de triang<= H1H2H3.

Resposta

O ortocentro H do triângulo ABC é o incentro do triângulo ortico H1H2H3.

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