Prove que se m termina em 5 então 1991 mid 12^m+9^m+8^m+6^m .

Passo 1

O problema pede para mostrar que, se o inteiro m termina em 5 (isto é, mequiv5pmod10), então
1991 mid 12^m + 9^m + 8^m + 6^m
O conteúdo principal é teoria de congruências: fatorar 1991, usar pequenos teoremas (Euler, redução de expoentes) e cálculos de potências módulo.

Passo 2

Faturamos
1991 = 11 times 181
e vamos provar as duas divisibilidades separadamente:
  1. 11 mid 12^m + 9^m + 8^m + 6^m.
  2. 181 mid 12^m + 9^m + 8^m + 6^m.

Passo 3

Prova da divisibilidade por 11.
Como varphi(11)=10 e mequiv5pmod10, para todo a coprimo a 11 vale
a^m equiv a^5 pmod11
Agora reduzo as bases:
12equiv1, 9equiv-2, 8equiv-3, 6equiv6 pmod11
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12^mequiv1^5=1, 9^mequiv(-2)^5=-32equiv1, 8^mequiv(-3)^5=-243equiv-1equiv10, 6^mequiv6^5equiv10 pmod11

Passo 4

Somando esses quatro restos:
12^m + 9^m + 8^m + 6^m equiv 1 + 1 + 10 + 10 =22equiv0pmod11
Portanto 11mid12^m+9^m+8^m+6^m.

Passo 5

Prova da divisibilidade por 181.
Aqui varphi(181)=180, mas mequiv5pmod10 não nos dá redução direta módulo 180. Escrevemos
m = 5 + 10k, kinZ
Então
12^m = 12^5+10k = 12^5,(12^10)^k,
e o mesmo para 9^m,8^m,6^m.

Passo 6

Calculamos em bmod181 as potências necessárias:
a) As quintas potências:
12^5equiv138, 9^5equiv43, 8^5equiv7, 6^5equiv174pmod181
b) As décimas potências:
12^10=(12^5)^2equiv138^2equiv39, 9^10equiv43^2equiv39,
8^10=(8^5)^2equiv7^2equiv49, 6^10equiv174^2equiv49 pmod181

Passo 7

Agora agrupamos 12^m+9^m e 8^m+6^m:
12^m + 9^m =12^5,(12^10)^k + 9^5,(9^10)^k =39^k,(12^5+9^5) =39^k,(138+43) =39^kcdot181,
8^m + 6^m =8^5,(8^10)^k + 6^5,(6^10)^k =49^k,(8^5+6^5) =49^k,(7+174) =49^kcdot181
Somando,
12^m+9^m+8^m+6^m =181l(39^k+49^kr),
que é claramente múltiplo de 181.

Passo 8

Concluímos que
11mid12^m+9^m+8^m+6^m e 181mid12^m+9^m+8^m+6^m
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1991 =11cdot181 mid12^m+9^m+8^m+6^m

Resposta

Portanto, quando m termina em 5, realmente
1991 mid 12^m + 9^m + 8^m + 6^m

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