Prove que se
termina em 5 então
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, se o inteiro
termina em 5 (isto é,
), então
O conteúdo principal é teoria de congruências: fatorar
, usar pequenos teoremas (Euler, redução de expoentes) e cálculos de potências módulo.
Passo 2
Faturamos
e vamos provar as duas divisibilidades separadamente:
-
. -
.
Passo 3
Prova da divisibilidade por
.
Como e
, para todo
coprimo a 11 vale
Como
Agora reduzo as bases:
Logo
Passo 4
Somando esses quatro restos:
Portanto
.
Passo 5
Prova da divisibilidade por
.
Aqui , mas
não nos dá redução direta módulo 180. Escrevemos
Aqui
Então
e o mesmo para
.
Passo 6
Calculamos em
as potências necessárias:
a) As quintas potências:
b) As décimas potências:
Passo 7
Agora agrupamos
e
:
Somando,
que é claramente múltiplo de
.
Passo 8
Concluímos que
logo
Resposta
Portanto, quando
termina em
, realmente