Prove que: “Num triângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele”.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo qualquer
com o ângulo
agudo. Denotemos
– o lado oposto a por
,
– os outros lados por e
,
– o pé da altura de sobre
por
.
Queremos mostrar que
– o lado oposto a
– os outros lados por
– o pé da altura de
Queremos mostrar que
Passo 2
Como
, nos triângulos retângulos
e
valem os teoremas de Pitágoras:
Da primeira, isolamos
:
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Passo 4
Repare que
. Logo
Substituindo em
resulta
Passo 5
Por definição,
é exatamente a projeção de
sobre
. Portanto chegamos à fórmula desejada: