Prove que: “Num triângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele”.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo qualquer ABC com o ângulo ang<= A agudo. Denotemos
– o lado oposto a ang<= A por BC,
– os outros lados por AB e AC,
– o pé da altura de C sobre AB por D.
Queremos mostrar que
BC^2 = AB^2 + AC^2 ;-; 2,ABcdot (,projeção de AC sobre AB,) çã

Passo 2

Como CDperp AB, nos triângulos retângulos ACD e BCD valem os teoremas de Pitágoras:
AD^2 + CD^2 = AC^2 e BD^2 + CD^2 = BC^2
Da primeira, isolamos CD^2:
CD^2 = AC^2 - AD^2

Passo 3

Substituindo CD^2 em BD^2 + CD^2 = BC^2, obtemos
BC^2 = BD^2 + l(AC^2 - AD^2r) = BD^2 + AC^2 - AD^2

Passo 4

Repare que BD = AB - AD. Logo
BD^2 = (AB - AD)^2 = AB^2 - 2,ABcdot AD + AD^2
Substituindo em BC^2 = BD^2 + AC^2 - AD^2 resulta
BC^2 = l[AB^2 - 2,ABcdot AD + AD^2r] + AC^2 - AD^2 = AB^2 + AC^2 - 2,ABcdot AD

Passo 5

Por definição, AD é exatamente a projeção de AC sobre AB. Portanto chegamos à fórmula desejada:
BC^2 = AB^2 + AC^2 ;-; 2,ABcdot (projeção de AC sobre AB) çã

Resposta

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2,ABcdot (projeção de AC sobre AB) çã

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