(PUC/SP-2003) Nas afirmações I, II e III, considere que x , y e z são números inteiros pares e consecutivos, tais que
.
I. x.y.z é divisível por 24.
II.
é múltiplo de 12
III.
SOMENTE é verdadeiro o que se afirma em
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
I. x.y.z é divisível por 24.
II.
III.
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
Passo 1
O enunciado afirma que
são inteiros pares e consecutivos, com
, e pede para verificar:
I. se é divisível por 24;
II. se é múltiplo de 12;
III. se .
Vamos usar a representação de termos de uma progressão aritmética e propriedades de divisibilidade para cada caso.
I. se
II. se
III. se
Vamos usar a representação de termos de uma progressão aritmética e propriedades de divisibilidade para cada caso.
Passo 2
Como são pares consecutivos, definimos
onde
é inteiro.
Passo 3
Para I, calculamos o produto:
Aqui
e
é produto de três inteiros consecutivos, de modo que um deles é múltiplo de 3. Portanto
é divisível por
e I é verdadeira.
Passo 4
Para II, somamos os termos:
Isto mostra que
é sempre múltiplo de 6, mas só é múltiplo de 12 quando
é par. Como nem todo
satisfaz isso, II nem sempre é verdadeira.
Passo 5
Para III, temos
logo
vale para todo
e III é verdadeira.
Resposta
SOMENTE I e III são verdadeiras. Alternativa (e).