(PUC/SP-2003) Nas afirmações I, II e III, considere que x , y e z são números inteiros pares e consecutivos, tais que x<y<z.
I. x.y.z é divisível por 24.
II. x+y+z é múltiplo de 12
III. x+z=2 y
SOMENTE é verdadeiro o que se afirma em
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III

Passo 1

O enunciado afirma que x,y,z são inteiros pares e consecutivos, com x<y<z, e pede para verificar:
I. se x,y,z é divisível por 24;
II. se x+y+z é múltiplo de 12;
III. se x+z=2y.
Vamos usar a representação de termos de uma progressão aritmética e propriedades de divisibilidade para cada caso.

Passo 2

Como são pares consecutivos, definimos
x = 2n, y = 2n+2, z = 2n+4,
onde n é inteiro.

Passo 3

Para I, calculamos o produto:
x,y,z = (2n)(2n+2)(2n+4) = 8cdot n(n+1)(n+2)
Aqui 8=2^3 e n(n+1)(n+2) é produto de três inteiros consecutivos, de modo que um deles é múltiplo de 3. Portanto x,y,z é divisível por 2^3cdot3=24 e I é verdadeira.

Passo 4

Para II, somamos os termos:
x+y+z = 2n + (2n+2)+(2n+4) = 6n+6 = 6(n+1)
Isto mostra que x+y+z é sempre múltiplo de 6, mas só é múltiplo de 12 quando n+1 é par. Como nem todo n satisfaz isso, II nem sempre é verdadeira.

Passo 5

Para III, temos
x+z = 2n + (2n+4) = 4n+4 = 2(2n+2) = 2y,
logo x+z=2y vale para todo n e III é verdadeira.

Resposta

SOMENTE I e III são verdadeiras. Alternativa (e).

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