(PUC/SP-05) Considere as sequências (1,4,7,10, \ldots, 67) e (8,12,
16. 20, …, 104). O número de termos comuns a cssas duas progressões é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Passo 1

O enunciado dá duas progressões aritméticas:
(1,4,7,10,\ldots,67) com diferença 3 e
(8,12,16,20,\ldots,104) com diferença 4.
O objetivo é encontrar quantos termos são comuns a ambas.

Passo 2

Escrevemos o termo geral de cada uma:
a_n = 1 + 3(n-1) = 3n - 2, cujo último termo satisfaz 3N_1 - 2 = 67 dando N_1 = 23.
b_m = 8 + 4(m-1) = 4m + 4, cujo último termo satisfaz 4M_2 + 4 = 104 dando M_2 = 25.

Passo 3

Para um número x ser comum, deve existir n e m tais que
x = 3n - 2\quad\text{e}\quad x = 4m + 4.
Isso implica
x \equiv 1 \pmod{3} \quad\text{e}\quad x \equiv 0 \pmod{4}.

Passo 4

Resolvendo o sistema de congruências por CRT obtemos
x \equiv 4 \pmod{12}.
Logo os termos comuns têm a forma
x_k = 4 + 12k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Para ficarem no intervalo em que ambas as progressões existem, impomos
8 \le 4 + 12k \le 67
que dá 1 \le k \le 5{,}25, ou seja k=1,2,3,4,5. São 5 termos:
16,28,40,52,64.

Resposta

(a) 5

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