(PUC-SP) Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos, y moedas de 10 centavos e z moedas de 25 centavos. A equação matricial seguinte permite determinar as possíveis quantidades dessas moedas.
[lll1 & 2 & 5 1 & 1 & 1] cdot[lx y z]=[l78 32]
Com base nesses dados, é correto afirmar que:
a) Há exatamente 7 possibilidades de solução para essa equação.
b) Não podem existir dois tipos de moedas distintas em quantidades iguais.
c) Os três tipos de moedas totalizam a quantia de R$ 78,00.
d) Se o número de moedas de 10 centavos fosse 4, o problema admitiria uma única solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações para o número de moedas de 5 c, 10 c e 25 c, respectivamente
O problema pede verificar qual das afirmações (a)–(d) é verdadeira. Vamos primeiro encontrar todas as soluções inteiras não negativas ((x,y,z)].

Passo 2

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar x, obtemos
(x + 2y + 5z) - (x + y + z) = 78 - 32 Longrightarrow y + 4z = 46
Dessa relação segue
y = 46 - 4z

Passo 3

Da segunda equação temos x = 32 - y - z. Substituindo y = 46 - 4z,
x = 32 - (46 - 4z) - z = 32 - 46 + 4z - z = 3z - 14

Passo 4

Como x,y,z devem ser inteiros não negativos, impomos
y = 46 - 4z >= 0 Longrightarrow z <= 11,
x = 3z - 14 >= 0 Longrightarrow z >= 143;Longrightarrow;z >= 5
Logo z pode assumir os valores inteiros de 5 a 11, inclusive. Isso dá exatamente
11 - 5 + 1 = 7
possibilidades de solução (x,y,z).

Resposta

(a) Há exatamente 7 possibilidades de solução para essa equação.

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