(Unesp-SP) Para quais valores de k in R o sistema linear homogêneo
l k x+2 y-z=0 2 x-y+2 z=0 3 x+y+k z=0

Passo 1

Temos o sistema homogêneo
k x + 2y - z = 0, 2x - y + 2z = 0, 3x + y + k z = 0
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos dependentes de parâmetro k. Para que haja solução não trivial (além da solução nula (x,y,z)=(0,0,0)), precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = k & 2 & -1 2 & -1 & 2 3 & 1 & k
e usamos o fato de que existe solução não trivial se, e somente se,
det(A)=0

Passo 3

Calculemos det(A) pela expansão na primeira linha:
det(A) = kdet-1 & 2 1 & k -2det2 & 2 3 & k +(-1)det2 & -1 3 & 1
Agora, cada menor:
det-1 & 2 1 & k = (-1),k - 2cdot1 = -k - 2,
det2 & 2 3 & k = 2,k - 2cdot3 = 2k - 6,
det2 & -1 3 & 1 = 2cdot1 - (-1)cdot3 = 2 + 3 = 5

Passo 4

Substituindo os menores em det(A):
det(A) = k(-k - 2) - 2(2k - 6) + (-1)cdot5 = -k^2 - 2k - 4k + 12 - 5 = -k^2 - 6k + 7
Igualando a zero para ter solução não trivial:
-k^2 - 6k + 7 = 0 Longrightarrow k^2 + 6k - 7 = 0
As raízes dessa equação são
k = -6 pm raiz36 + 282 = -6 pm 82 ;Longrightarrow; k = 1 ou k = -7

Resposta

Os valores de k que tornam o sistema homogêneo não trivial são
k = 1 e k = -7

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