(PUC-SP) No plano complexo, seja o triângulo cujos vértices U, V e W são as respectivas imagens dos números complexos u =4 cdot(cos 60^circ+i cdot sen 60^circ)^2, v=u cdot i e w =4 cdot i^147. A área do triângulo UVW, em unidades de superfície, é:
a) 4(raiz3-1)
b) 4(raiz3+1)
c) 2(2-raiz3)
d) 2(2+raiz3)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo de vértices U, V e W cujas afixas são
u = 4(cos60^circ + isin60^circ)^2,
v = u,i
e
w = 4,i^147.
Este problema envolve operações com números complexos no formato trigonométrico e cálculo de área no plano pelo determinante.

Passo 2

Calcular u. Usamos
cos60^circ = tfrac12 e sin60^circ = tfracraiz32, logo
(cos60^circ + isin60^circ)^2 = cos120^circ + isin120^circ = -tfrac12 + itfracraiz32.
Multiplicando por 4:
u = 4l(-tfrac12 + itfracraiz32r) = -2 + 2iraiz3

Passo 3

Calcular v = u,i. Como u = -2 + 2iraiz3, temos
v = (-2 + 2iraiz3),i = -2i + 2i^2raiz3 = -2i - 2raiz3 = -2raiz3 - 2i

Passo 4

Calcular w = 4,i^147. Como 147 bmod 4 = 3, segue i^147 = i^3 = -i. Portanto,
w = 4(-i) = -4i

Passo 5

Identificamos as coordenadas no plano:
U = (x1,y1) = (-2,,2raiz3),
V = (x2,y2) = (-2raiz3,,-2),
W = (x3,y3) = (0,,-4).

Passo 6

Usar a fórmula da área de um triângulo a partir das coordenadas:
Área = 12l|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)r| Á

Passo 7

Calcular as diferenças:
y2 - y3 = -2 - (-4) = 2,
y3 - y1 = -4 - 2raiz3 = -4 - 2raiz3,
y1 - y2 = 2raiz3 - (-2) = 2raiz3 + 2.
Logo:
x1(y2-y3) = -2cdot2 = -4, x2(y3-y1) = -2raiz3,(-4 - 2raiz3) = 8raiz3 + 12, x3(y1-y2) = 0
Somando:
l| -4 + (8raiz3 + 12) r| = 8raiz3 + 8,
portanto:
Área = 12(8raiz3 + 8) = 4raiz3 + 4 = 4(raiz3 + 1) Á

Resposta

b) 4(raiz3+1)

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