(UF-PE) Encontre a solução do sistema linear abaixo, utilizando o processo de escalonamento ou o processo de substituição de variáveis:
-x+y+z+w & =1 x-y+z+w & =0 x+y-z+w & =-1 x-y+z & =2

Passo 1

O enunciado dá o sistema
-x + y + z + w = 1, x - y + z + w = 0, x + y - z + w = -1, x - y + z = 2,
e pede a solução por escalonamento ou substituição. Aqui vamos usar substituição: isolamos x em uma equação e substituímos nas demais.

Passo 2

Da segunda equação
x - y + z + w = 0
isolamos
x = y - z - w

Passo 3

Substituímos x=y - z - w nas equações 1, 3 e 4:
  1. -x + y + z + w = 1
-(y - z - w) + y + z + w = 1 Longrightarrow 2z + 2w = 1 Longrightarrow z + w = tfrac12
  1. x + y - z + w = -1
(y - z - w) + y - z + w = -1 Longrightarrow 2y - 2z = -1 Longrightarrow y - z = -tfrac12
  1. x - y + z = 2
(y - z - w) - y + z = 2 Longrightarrow -w = 2 Longrightarrow w = -2

Passo 4

Já temos
w = -2
Substituindo em z + w = tfrac12:
z - 2 = tfrac12 Longrightarrow z = tfrac52
E em y - z = -tfrac12:
y - tfrac52 = -tfrac12 Longrightarrow y = 2

Passo 5

Por fim, em x = y - z - w:
x = 2 - tfrac52 - (-2) = tfrac32

Resposta

(x,y,z,w) = l(tfrac32,;2,;tfrac52,;-2r)

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