(PUC-SP) Se a, b e c são números inteiros tais que c^a=b^2 a, 3 c=3 cdot 9^a e a +b+c=16, então é verdade que
a) a < b < c
b) a < c < b
c) b < a < c
d) b < c < a
e) c < a < b

Passo 1

O enunciado dá três inteiros a,b,c que satisfazem
c^a ;=; b^2a,
3^c ;=; 3cdot 9^a,
a + b + c ;=; 16
O conteúdo envolve equações exponenciais e um sistema diofantino; vamos usar propriedades de potências para reduzi-lo.

Passo 2

Da segunda equação,
3^c ;=; 3cdot 9^a ;=; 3cdot (3^2)^a ;=; 3^2a+1
Como as bases são iguais, igualamos expoentes:
c = 2a + 1

Passo 3

Da primeira equação,
c^a = b^2a
Assumindo aneq0 (caso a=0 não leva à soma 16), elevamos ambos os lados a 1/a:
c = b^2

Passo 4

Substituindo c=2a+1 e c=b^2 no sistema, obtemos
b^2 = 2a + 1,
e da soma
a + b + c = a + b + (2a+1) = 3a + b +1 = 16 Longrightarrow 3a + b = 15,
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b = 15 - 3a

Passo 5

Substituindo b=15-3a em b^2=2a+1:
(15-3a)^2 = 2a+1 ;Longrightarrow; 9a^2 -90a +225 = 2a+1 ;Longrightarrow; 9a^2 -92a +224 = 0
O discriminante é
De<a = (-92)^2 -4cdot9cdot224 = 8464 -8064 = 400,
então
a = 92pm2018 ;Longrightarrow; a = 11218 (descarta) ou a = 7218 = 4

Passo 6

Para a=4 vem
b = 15 - 3cdot4 = 3, c = 2cdot4 +1 = 9

Passo 7

Comparando os valores a=4, b=3, c=9 obtemos
b < a < c

Resposta

c) b < a < c

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