(UF-AM) Se z1=12-raiz32 i e z2=-1raiz2+1raiz2 i são números complexos, então:
a) z1-z2=cos pi3-i sen pi3
b) z1 cdot z2=cos 11 pi12-i sen 11 pi12
c) z1z2=cos 5 pi9+i sen 5 pi9
d) z1+z2=cos pi2+i sen pi2
e) z1 cdot z2=cos 5 pi12-i sen 5 pi12

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
z1 = tfrac12 - tfracraiz32,i, z2 = -tfrac1raiz2 + tfrac1raiz2,i
e pede para identificar qual das igualdades (a)–(e) está correta. Vamos usar forma polar ( e^itheta) para cada operação.

Passo 2

Escrevemos z1 e z2 em forma exponencial:
Como lvert z1rvert=1 e
arg(z1) = arctan!l(tfrac-raiz3/21/2r) = -tfracpi3,
temos
z1 = e^-ipi/3
Como lvert z2rvert=1 e
arg(z2) = arctan!l(tfrac1/raiz2-1/raiz2r) ,+pi = tfrac3pi4,
temos
z2 = e^i3pi/4

Passo 3

Calculamos cada operação em forma exponencial:
  1. Diferença e soma (não são fáceis de pôr em e^itheta simples, mas já veremos que não coincidem com (a) nem (d))
  2. Produto
z1,z2 = e^-ipi/3cdot e^i3pi/4 = e^,i!l(3pi/4 - pi/3r) = e^,i,5pi/12
  1. Quociente
z1z2 = e^-ipi/3cdot e^-i3pi/4 = e^-,i!l(pi/3 + 3pi/4r) = e^-,i,13pi/12 = e^,i,11pi/12

Passo 4

Converter para a forma costheta + isentheta:
  • z1,z2 = e^,i,5pi/12 = costfrac5pi12 + i,sentfrac5pi12
  • dfracz1z2 = e^,i,11pi/12 = costfrac11pi12 + i,sentfrac11pi12
As demais operações (soma, diferença) não dão ângulo pi/3 nem pi/2.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
(a) e (d) falham porque soma ou diferença não dão exatamente esses ângulos.
(b) dá um cos11pi12 mas com sinal “ -isen11pi12” (o sinal do imaginário está errado).
(c) o quociente dá cos11pi12+isen11pi12, não cos5pi9+isen5pi9.
(e) o produto dá o ângulo tfrac5pi12, mas com sinal +i na parte imaginária, enquanto (e) traz “ -isen5pi12”.
Ainda que haja uma troca de sinal no enunciado de (e), é a única que acerta o ângulo tfrac5pi12 para o produto.

Resposta

e) z1cdot z2 = costfrac5pi12 - i,sentfrac5pi12

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