Um quadrado e um losango têm o mesmo perímetro. Determine a razão entre a área do quadrado e do losango, sabendo que as diagonais do losango estão entre si como 35 e que a diferença entre elas é igual a 40 cm .

Passo 1

O enunciado dá um quadrado e um losango com o mesmo perímetro. As diagonais do losango estão em razão e têm diferença igual a . Precisamos achar a razão entre a área do quadrado e a área do losango. Vamos usar: expressão das diagonais pela razão e diferença, fórmula da área do losango via diagonais, relação perímetro e área do quadrado.

Passo 2

Sejam as diagonais do losango d1d2 = 35, d2 - d1 = 40, e d1 = 3cdot20 = 60;cm, d2 = 5cdot20 = 100;cm com
Escrevendo e , temos . Logo

Passo 3

A área do losango é dada por
Alos = d1,d22 = 60cdot1002 = 3000;cm^2

Passo 4

O lado do losango sai pelo teorema de Pitágoras aplicado aos meios das diagonais:
s = raizl(tfracd12r)^2 + l(tfracd22r)^2 = raiz30^2 + 50^2 = raiz900 + 2500 = raiz3400 = 10raiz34;cm
Então o perímetro comum é
P = 4s = 40raiz34;cm

Passo 5

Como o quadrado tem o mesmo perímetro a = P4 = 10raiz34;cm, , seu lado é
Aquad = a^2 = (10raiz34)^2 = 100cdot34 = 3400;cm^2
e sua área é

Passo 6

A razão pedida é
AquadAlos = 34003000 = 3430 = 1715

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados