Calcule a área de um retângulo, sabendo que cada diagonal mede 10 cm e forma um ângulo de 60^circ.

Passo 1

O enunciado pede a área de um retângulo cujas diagonais medem 10 cm e se cruzam formando um ângulo de 60^circ.
Conteúdo: geometria analítica no plano, uso da expressão do cosseno do ângulo entre dois vetores (as diagonais) e a relação entre lados e diagonal de um retângulo.

Passo 2

Seja a e b as dimensões do retângulo. A diagonal vale
raiza^2 + b^2 = 10
Elevando ao quadrado, obtemos
a^2 + b^2 = 100

Passo 3

Colocando o retângulo em coordenadas A=(0,0), B=(a,0), C=(a,b), D=(0,b), as diagonais são os vetores
AC=(a,b) e BD=(-a,b).
O cosseno do ângulo theta entre elas é
costheta =(a,b)cdot(-a,b)raiza^2+b^2,raiz(-a)^2+b^2 =-a^2 + b^2a^2+b^2
Como theta=60^circ, temos cos60^circ=tfrac12, logo
b^2 - a^2a^2+b^2 = tfrac12

Passo 4

Da igualdade
b^2 - a^2 = tfrac12,(a^2 + b^2)
vem
2b^2 - 2a^2 = a^2 + b^2 Longrightarrow b^2 - 3a^2 = 0 Longrightarrow b^2 = 3a^2 Longrightarrow b = raiz3,a
Substituindo em a^2 + b^2 =100
a^2 + 3a^2 = 100 Longrightarrow 4a^2 =100 Longrightarrow a = 5 cm,
e então b = 5raiz3 cm.

Passo 5

A área do retângulo é
Área = a cdot b = 5 times 5raiz3 = 25raiz3 cm^2 Á

Resposta

25raiz3 cm^2

Exercícios de Livros Relacionados