Calcule a área de um segmento circular de um círculo de raio R e ângulo central medindo:
135^circ

Passo 1

O enunciado pede a área de um segmento circular de raio R e ângulo central theta=135^circ. Para isso precisamos do conhecimento de que esse segmento é a parte do setor circular limitado pela corda, de modo que
  1. calculamos a área do setor de ângulo theta, e
  2. subtraímos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e pela corda.

Passo 2

A área do setor de ângulo theta em um círculo de raio R é dada por
Asetor = theta360^circ,pi R^2
Substituindo theta=135^circ,
Asetor = 135360,pi R^2 = 38,pi R^2

Passo 3

O triângulo formado pelos dois raios e pela corda é isósceles com vértice no centro e ângulo de theta=135^circ. Sua área vale
Atriângulo = 12R^2sintheta â
Como sin135^circ = raiz22, temos
Atriângulo = 12R^2 cdot raiz22 = raiz24,R^2 â

Passo 4

A área do segmento circular é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:
Asegmento = Asetor - Atriângulo = 38,pi R^2 ;-;raiz24,R^2 â

Resposta

Asegmento = 3pi R^28 ;-;raiz2,R^24

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