As medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo medem 2 raiz73 m e 4 raiz13 m. Determine a área desse triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem a e b, e as medianas relativas a esses catetos valem
ma = 2raiz73,, mb = 4raiz13
Queremos a área do triângulo, que é tfraca b2. Para isso, vamos usar a fórmula da mediana em qualquer triângulo e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Em qualquer triângulo, a mediana relativa ao lado de comprimento a satisfaz
ma^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^24,
onde c é o terceiro lado. No nosso caso, o triângulo é retângulo, então
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo c^2 nessa fórmula, obtemos
ma^2 = 2b^2 + 2(a^2 + b^2) - a^24 = a^2 + 4b^24

Passo 3

De modo análogo, a mediana relativa a b satisfaz
mb^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^24 = 4a^2 + b^24

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
ma = 2raiz73implies ma^2 = 4cdot73 = 292 Longrightarrow a^2 + 4b^24 = 292 Longrightarrow a^2 + 4b^2 = 1168,
mb = 4raiz13implies mb^2 = 16cdot13 = 208 Longrightarrow 4a^2 + b^24 = 208 Longrightarrow 4a^2 + b^2 = 832
Isso nos dá o sistema
a^2 + 4b^2 = 1168, 4a^2 + b^2 = 832
Multiplicando a primeira equação por 4 e subtraindo a segunda, achamos
15b^2 = 3840implies b^2 = 256implies b = 16,
e então de 4a^2 + b^2 = 832 vem
4a^2 + 256 = 832implies 4a^2 = 576implies a^2 = 144implies a = 12

Passo 5

Com a=12 e b=16, a área do triângulo retângulo é
Área = a,b2 = 12cdot162 = 96 Á

Resposta

A área do triângulo é 96 m^2.

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