As medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo medem
e
. Determine a área desse triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem
e
, e as medianas relativas a esses catetos valem
Queremos a área do triângulo, que é
. Para isso, vamos usar a fórmula da mediana em qualquer triângulo e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Em qualquer triângulo, a mediana relativa ao lado de comprimento
satisfaz
onde
é o terceiro lado. No nosso caso, o triângulo é retângulo, então
Substituindo
nessa fórmula, obtemos
Passo 3
De modo análogo, a mediana relativa a
satisfaz
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos:
Isso nos dá o sistema
Multiplicando a primeira equação por
4 e subtraindo a segunda, achamos
e então de
4a^2 + b^2 = 832 vem
Passo 5
Com
a=12 e
b=16 , a área do triângulo retângulo é
Resposta
A área do triângulo é
96 m^2 .