Há quantas maneiras de distribuir 12 objetos distintos em seis caixas distintas, tal que dois objetos sejam colocados em cada caixa?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir doze objetos distintos em seis caixas distintas, de modo que cada caixa receba exatamente duas unidades. O conteúdo usado aqui é contagem de agrupamentos iguais em caixas distintas, que se resolve com coeficientes multinomiais ou produtos de combinações.

Passo 2

Podemos montar a distribuição sequencialmente:
Para a caixa 1 escolhemos 2 objetos dentre 12, o que dá \binom{12}{2}.
Para a caixa 2 escolhemos 2 dentre os 10 restantes, dando \binom{10}{2}, e assim por diante até a caixa 6.
Logo o total é
\binom{12}{2}\,\binom{10}{2}\,\binom{8}{2}\,\binom{6}{2}\,\binom{4}{2}\,\binom{2}{2}.

Passo 3

Agora simplificamos esse produto de binomiais usando fatoriais:
\binom{12}{2}\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2} = \frac{12!}{2!10!}\,\frac{10!}{2!8!}\,\frac{8!}{2!6!}\,\frac{6!}{2!4!}\,\frac{4!}{2!2!}\,\frac{2!}{2!0!} = \frac{12!}{(2!)^6}.

Passo 4

Para conferir numericamente:
12! = 479001600, \quad (2!)^6 = 64, \quad \text{então}\quad \frac{12!}{(2!)^6} = \frac{479001600}{64} = 7484400.ã

Resposta

\displaystyle \frac{12!}{(2!)^6} = 7484400

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