(UF-CE) De quantas maneiras podemos distribuir doze livros distintos entre quatro alunos de modo que cada um receba três livros?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir doze livros distintos entre quatro alunos, de modo que cada um receba exatamente três livros. O conteúdo aqui é contagem combinatória usando combinações e o princípio multiplicativo, pois vamos particionar um conjunto de 12 elementos em quatro “caixinhas” distintas (os alunos) de tamanho 3 cada.

Passo 2

Vamos atribuir primeiro ao aluno 1 três livros dentre os 12. Como a ordem dentro da escolha não interessa, o número de formas é
binom123

Passo 3

Após dar os 3 ao aluno 1, restam 12-3=9 livros. Para o aluno 2 escolhemos 3 dentre esses 9, o que pode ser feito de
binom93
maneiras.

Passo 4

Sobram então 9-3=6 livros. Para o aluno 3 escolhemos 3 dentre esses 6, o que dá
binom63
maneiras.

Passo 5

Finalmente, restam 6-3=3 livros e o aluno 4 leva todos, de modo que há
binom33=1
maneira de fazer essa última atribuição.

Passo 6

Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as escolhas de cada etapa:
binom123,binom93,binom63,binom33
Usando binomnk=n!k!(n-k)!, simplifica-se para
12!3!9!cdot9!3!6!cdot6!3!3!cdot3!3!0! =12!(3!)^4

Resposta

12!(3!)^4

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