(UF-PI) De quantas maneiras podemos dividir 200,00 \mathrm{R} $2,00 \mathrm{R} $ 5,00$, se pelo menos uma nota de cada valor tem que ser usada?
a) 15
b) 16
c)
d) 18
e) 19

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas de uma equação de soma de valores monetários: temos notas de R$2,00 e de R$5,00, e queremos usar pelo menos uma de cada para totalizar R$200,00.

Passo 2

Seja x o número de notas de R$2,00 e y o número de notas de R$5,00. A equação do valor total é
2x + 5y = 200,
com as restrições x>=1 e y>=1.

Passo 3

Isolando x, temos
x = 200 - 5y2
Para que x seja inteiro e positivo precisamos de duas condições:
  1. 200 - 5y é divisível por 2, isto é, 5yequiv0pmod2, ou seja, y deve ser par.
  2. x>=1 implica 200 - 5y >= 2, ou seja, 5y <= 198 e portanto y <= 39,6, isto é y<=39.
Como y é par e 1<= y<=39, o menor valor de y é 2 e o maior valor par possível é 38.

Passo 4

Os valores admissíveis de y formam a progressão aritmética
2,4,6,dots,38
com primeiro termo a1=2, último termo an=38 e razão 2. O número de termos dessa PA é
n = 38 - 22 + 1 = 19
Cada escolha de y determina um único x>0, logo há 19 modos de distribuir as notas.

Resposta

19

Exercícios de Livros Relacionados