(UF-PI) De quantas maneiras podemos dividir
200,00
\mathrm{R} $2,00
\mathrm{R} $ 5,00$, se pelo menos uma nota de cada valor tem que ser usada?
a) 15
b) 16
c)
d) 18
e) 19
a) 15
b) 16
c)
d) 18
e) 19
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas de uma equação de soma de valores monetários: temos notas de
e de
, e queremos usar pelo menos uma de cada para totalizar
.
Passo 2
Seja
o número de notas de
e
o número de notas de
. A equação do valor total é
com as restrições
e
.
Passo 3
Isolando
, temos
Para que
seja inteiro e positivo precisamos de duas condições:
-
é divisível por , isto é, , ou seja, deve ser par. -
implica , ou seja, e portanto , isto é .
Como
é par e
, o menor valor de
é
e o maior valor par possível é
.
Passo 4
Os valores admissíveis de
formam a progressão aritmética
com primeiro termo
, último termo
e razão
. O número de termos dessa PA é
Cada escolha de
determina um único
, logo há
modos de distribuir as notas.
Resposta
19