Há quantas maneiras possíveis de escolher oito moedas de um cofrinho que contém 100 moedas de 10 centavos e 80 moedas de 5 centavos?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um cofrinho com 100 moedas de 10 cents e 80 moedas de 5 cents, e queremos contar de quantas maneiras podemos escolher 8 moedas.
Conteúdo que vamos usar: coeficientes binomiais e a identidade de Vandermonde para somas de produtos de binomiais.
Conteúdo que vamos usar: coeficientes binomiais e a identidade de Vandermonde para somas de produtos de binomiais.
Passo 2
Sejam
o número de moedas de 10 cents que escolhemos e
o número de moedas de 5 cents. Para cada
fixo, podemos escolher
moedas entre as 100 de 10 cents de
maneiras e escolher
moedas entre as 80 de 5 cents de
maneiras.
Passo 3
Somando sobre todas as possibilidades de
(de
a
) obtemos
Passo 4
Pela identidade de Vandermonde, essa soma é justamente