Há quantas maneiras possíveis de escolher oito moedas de um cofrinho que contém 100 moedas de 10 centavos e 80 moedas de 5 centavos?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um cofrinho com 100 moedas de 10 cents e 80 moedas de 5 cents, e queremos contar de quantas maneiras podemos escolher 8 moedas.
Conteúdo que vamos usar: coeficientes binomiais e a identidade de Vandermonde para somas de produtos de binomiais.

Passo 2

Sejam k o número de moedas de 10 cents que escolhemos e 8-k o número de moedas de 5 cents. Para cada k fixo, podemos escolher k moedas entre as 100 de 10 cents de \binom{100}{k} maneiras e escolher 8-k moedas entre as 80 de 5 cents de \binom{80}{8-k} maneiras.

Passo 3

Somando sobre todas as possibilidades de k (de 0 a 8) obtemos
\sum_{k=0}^{8}\binom{100}{k}\,\binom{80}{8-k}.

Passo 4

Pela identidade de Vandermonde, essa soma é justamente
\sum_{k=0}^{8}\binom{100}{k}\,\binom{80}{8-k} =\binom{100+80}{8} =\binom{180}{8}.

Resposta

\displaystyle \binom{180}{8}

Exercícios de Livros Relacionados