Há quantas maneiras possíveis de viajar em um espaço x y z com origem (0,0,0) ao ponto (4,3,5) por meio de passos de uma unidade na direção positiva x, de uma unidade na direção positiva y ou de uma unidade na direção positiva z ? (Mover-se nas direções negativas x, y ou z é proibido, portanto os movimentos para trás não são permitidos.)

Passo 1

O enunciado pede o número de caminhos de (0,0,0) a (4,3,5) usando apenas passos de comprimento 1 nas direções positivas x, y ou z. Esse problema se reduz a contar as sequências de passos onde há exatamente 4 movimentos em x, 3 em y e 5 em z. O conteúdo é combinatória, mais precisamente coeficiente multinomial.

Passo 2

Para ir de (0,0,0) a (4,3,5) precisamos de 4 passos em x, 3 passos em y e 5 passos em z.
No total são
4 + 3 + 5 = 12
passos.

Passo 3

O número de sequências distintas de 12 passos, com repetições de 4 de um tipo, 3 de outro e 5 de um terceiro, é dado pelo coeficiente multinomial
\frac{12!}{4!\,3!\,5!}.

Passo 4

Para calcular \frac{12!}{4!\,3!\,5!} podemos usar produto de binomiais:
\binom{12}{4}\times \binom{12-4}{3} = \binom{12}{4}\times \binom{8}{3}.
Sabendo que \binom{12}{4}=495 e \binom{8}{3}=56, temos
495 \times 56 = 27720.

Resposta

27720
Nesse espaço tridimensional há 27720 maneiras diferentes de ir de (0,0,0) até (4,3,5) com os passos permitidos.

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