Há quantas maneiras possíveis de viajar em um espaço
com origem
ao ponto
por meio de passos de uma unidade na direção positiva
, de uma unidade na direção positiva
ou de uma unidade na direção positiva
? (Mover-se nas direções negativas
ou
é proibido, portanto os movimentos para trás não são permitidos.)
Passo 1
O enunciado pede o número de caminhos de
a
usando apenas passos de comprimento 1 nas direções positivas
,
ou
. Esse problema se reduz a contar as sequências de passos onde há exatamente 4 movimentos em
, 3 em
e 5 em
. O conteúdo é combinatória, mais precisamente coeficiente multinomial.
Passo 2
Para ir de
a
precisamos de
passos em
,
passos em
e
passos em
.
No total são
No total são
passos.
Passo 3
O número de sequências distintas de 12 passos, com repetições de 4 de um tipo, 3 de outro e 5 de um terceiro, é dado pelo coeficiente multinomial
Passo 4
Para calcular
podemos usar produto de binomiais:
Sabendo que
e
, temos
Resposta
27720
Nesse espaço tridimensional há maneiras diferentes de ir de
até
com os passos permitidos.
Nesse espaço tridimensional há