Quantos números inteiros positivos menores que 1000000 têm um dígito igual a 9 e têm a soma de dígitos igual a 13?
Passo 1
O enunciado pede contar todos os inteiros positivos menores que
(ou seja, todos os vetores de seis dígitos com zeros à esquerda) cuja soma dos dígitos seja 13 e que tenham pelo menos um dígito igual a 9. O conteúdo principal aqui é contagem de soluções inteiras não negativas com soma fixa e uso de combinatória básica (estrelas e barras) junto com observação sobre limites dos dígitos.
Passo 2
Para ter soma dos seis dígitos igual a 13 e ao menos um dígito igual a 9, note que se dois dígitos fossem 9, a soma seria pelo menos
. Logo, podemos ter exatamente um dígito igual a 9. Vamos contar quantos vetores
satisfazem essa condição.
Passo 3
Escolha a posição que contém o dígito 9: há 6 opções. Nos outros 5 dígitos a soma deve ser
e cada um varia de 0 a 9. Como 4 é menor que 9, o limite superior não interfere. O número de soluções não negativas de
é dado por
Passo 4
Multiplicando pelo número de escolhas de posição para o 9, obtemos