Quantos números inteiros positivos menores que 1000000 têm um dígito igual a 9 e têm a soma de dígitos igual a 13?

Passo 1

O enunciado pede contar todos os inteiros positivos menores que 10^6 (ou seja, todos os vetores de seis dígitos com zeros à esquerda) cuja soma dos dígitos seja 13 e que tenham pelo menos um dígito igual a 9. O conteúdo principal aqui é contagem de soluções inteiras não negativas com soma fixa e uso de combinatória básica (estrelas e barras) junto com observação sobre limites dos dígitos.

Passo 2

Para ter soma dos seis dígitos igual a 13 e ao menos um dígito igual a 9, note que se dois dígitos fossem 9, a soma seria pelo menos 9+9=18>13. Logo, podemos ter exatamente um dígito igual a 9. Vamos contar quantos vetores (d_1,\dots,d_6) satisfazem essa condição.

Passo 3

Escolha a posição que contém o dígito 9: há 6 opções. Nos outros 5 dígitos a soma deve ser 13-9=4 e cada um varia de 0 a 9. Como 4 é menor que 9, o limite superior não interfere. O número de soluções não negativas de
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 4
é dado por
\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.

Passo 4

Multiplicando pelo número de escolhas de posição para o 9, obtemos
6 \times 70 = 420.

Resposta

420

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