Uma padaria tem biscoito simples, biscoito de cereja, biscoito de chocolate, biscoito de amêndoas, biscoito de maçã e biscoito de brócolis. Há quantas maneiras possíveis de escolher
a) uma dúzia de biscoitos?
b) três dúzias de biscoitos?
c) duas dúzias de biscoitos com pelo menos dois de cada tipo?
d) duas dúzias de biscoitos com não mais de dois biscoitos de brócolis?
e) duas dúzias de biscoitos com pelo menos cinco biscoitos de chocolate e pelo menos três biscoitos de amêndoas?
f) duas dúzias de biscoitos com pelo menos um biscoito simples, pelo menos dois biscoitos de cereja, pelo menos três biscoitos de chocolate, pelo menos um biscoito de amêndoa, pelo menos dois biscoitos de maçã e não mais de três biscoitos de brócolis?

Passo 1

O enunciado nos diz que há seis tipos de biscoitos e que queremos contar o número de soluções inteiras não negativas para
\;x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = N
com possíveis restrições em cada x_i. Este é um problema de combinações com repetição, resolvido via o método de stars and bars: o número de soluções de
\;x_1+\cdots+x_k = M,\quad x_i\ge 0
é
\;\binom{M + k - 1}{k-1}.

Passo 2

a) Aqui N=12 e não há restrição além de x_i\ge0. Logo
\#\text{maneiras} = \binom{12 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{17}{5}.

Passo 3

b) Agora N=36. Pelo mesmo raciocínio sem restrições:
\#\text{maneiras} = \binom{36 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{41}{5}.

Passo 4

c) Queremos N=24 com x_i\ge2 para cada tipo. Fazemos a mudança y_i = x_i - 2, de modo que
\;y_1+\cdots+y_6 = 24 - 6\cdot2 = 12,\quad y_i\ge0,
e assim
\#\text{maneiras} = \binom{12 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{17}{5}.

Passo 5

d) Aqui N=24 e só há a limitação x_6 \le 2. Contamos primeiro todas as soluções sem essa restrição:
\binom{24 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{29}{5}.
Em seguida subtraímos os casos em que x_6\ge3. Se z = x_6 - 3\ge0, então
\;x_1+\cdots+x_5 + z = 24-3 = 21,
com 6 variáveis não negativas, dando
\binom{21 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{26}{5}.
Portanto
\#\text{maneiras} = \binom{29}{5} - \binom{26}{5}.

Passo 6

e) Para N=24 com x_3\ge5 (chocolate) e x_4\ge3 (amêndoas), fazemos y_3=x_3-5, y_4=x_4-3 e mantemos os outros y_i=x_i. Então
\sum_{i=1}^6 y_i = 24 - (5+3) = 16,\quad y_i\ge0,
logo
\#\text{maneiras} = \binom{16 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{21}{5}.

Passo 7

f) Finalmente, N=24 com
x_1\ge1,\; x_2\ge2,\; x_3\ge3,\; x_4\ge1,\; x_5\ge2,\; 0\le x_6\le3.
Definimos y_i = x_i - m_i para i=1,\dots,5 onde (m_1,\dots,m_5) = (1,2,3,1,2). Então
\sum_{i=1}^5 y_i + x_6 = 24 - (1+2+3+1+2) = 15,\quad y_i\ge0,\;0\le x_6\le3.
Sem a restrição x_6\le3, teríamos
\binom{15 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{20}{5}.
Subtraímos os casos com x_6\ge4: se z=x_6-4\ge0, então
\sum_{i=1}^5 y_i + z = 15-4 = 11,
que dá
\binom{11 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{16}{5}.
Logo
\#\text{maneiras} = \binom{20}{5} - \binom{16}{5}.

Resposta

a) \displaystyle \binom{17}{5}
b) \displaystyle \binom{41}{5}
c) \displaystyle \binom{17}{5}
d) \displaystyle \binom{29}{5} - \binom{26}{5}
e) \displaystyle \binom{21}{5}
f) \displaystyle \binom{20}{5} - \binom{16}{5}

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