Uma padaria tem biscoito simples, biscoito de cereja, biscoito de chocolate, biscoito de amêndoas, biscoito de maçã e biscoito de brócolis. Há quantas maneiras possíveis de escolher
a) uma dúzia de biscoitos?
b) três dúzias de biscoitos?
c) duas dúzias de biscoitos com pelo menos dois de cada tipo?
d) duas dúzias de biscoitos com não mais de dois biscoitos de brócolis?
e) duas dúzias de biscoitos com pelo menos cinco biscoitos de chocolate e pelo menos três biscoitos de amêndoas?
f) duas dúzias de biscoitos com pelo menos um biscoito simples, pelo menos dois biscoitos de cereja, pelo menos três biscoitos de chocolate, pelo menos um biscoito de amêndoa, pelo menos dois biscoitos de maçã e não mais de três biscoitos de brócolis?
a) uma dúzia de biscoitos?
b) três dúzias de biscoitos?
c) duas dúzias de biscoitos com pelo menos dois de cada tipo?
d) duas dúzias de biscoitos com não mais de dois biscoitos de brócolis?
e) duas dúzias de biscoitos com pelo menos cinco biscoitos de chocolate e pelo menos três biscoitos de amêndoas?
f) duas dúzias de biscoitos com pelo menos um biscoito simples, pelo menos dois biscoitos de cereja, pelo menos três biscoitos de chocolate, pelo menos um biscoito de amêndoa, pelo menos dois biscoitos de maçã e não mais de três biscoitos de brócolis?
Passo 1
O enunciado nos diz que há seis tipos de biscoitos e que queremos contar o número de soluções inteiras não negativas para
com possíveis restrições em cada
. Este é um problema de combinações com repetição, resolvido via o método de stars and bars: o número de soluções de
é
Passo 2
a) Aqui
e não há restrição além de
. Logo
Passo 3
b) Agora
. Pelo mesmo raciocínio sem restrições:
Passo 4
c) Queremos
com
para cada tipo. Fazemos a mudança
, de modo que
e assim
Passo 5
d) Aqui
e só há a limitação
. Contamos primeiro todas as soluções sem essa restrição:
Em seguida subtraímos os casos em que
. Se
, então
com 6 variáveis não negativas, dando
Portanto
Passo 6
e) Para
com
(chocolate) e
(amêndoas), fazemos
,
e mantemos os outros
. Então
logo
Passo 7
f) Finalmente,
com
Definimos
para
onde
. Então
Sem a restrição
, teríamos
Subtraímos os casos com
: se
, então
que dá
Logo
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)