Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
decágono regular;

Passo 1

O enunciado pergunta quantas medidas distintas — duas a duas diferentes — aparecem ao medir todas as diagonais de um polígono regular de n=10 lados. O conteúdo envolvido é a geometria de polígonos regulares, em particular o fato de que em um n-gono regular as diagonais correspondem a cordas que ligam vértices com separação k, e que o comprimento de cada corda só depende de k (com k e n-k dando a mesma medida).

Passo 2

Em um polígono regular de n vértices, as cordas que unem vértices com separação k (isto é, conectam vértices cujos índices diferem em k) têm todas o mesmo comprimento, e vale
corda(k)=2Rsinl(tfracpi knr),
onde R é o raio do círculo circunscrito. Como k e n-k geram a mesma medida, só precisamos considerar k=1,2,dots,lfloor n/2rfloor.

Passo 3

As diagonais são as cordas com k>=2 (para k=1 temos os lados). No nosso caso n=10, logo
lfloor n/2rfloor=lfloor 10/2rfloor=5
e as separações possíveis para diagonais são k=2,3,4,5. Cada um desses valores dá um comprimento distinto, pois as funções sin(tfrac2pi10), sin(tfrac3pi10), sin(tfrac4pi10) e sin(tfrac5pi10) são todas diferentes.

Resposta

Obtemos 4 medidas diferentes.

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