Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
decágono regular;
decágono regular;
Passo 1
O enunciado pergunta quantas medidas distintas — duas a duas diferentes — aparecem ao medir todas as diagonais de um polígono regular de
lados. O conteúdo envolvido é a geometria de polígonos regulares, em particular o fato de que em um
-gono regular as diagonais correspondem a cordas que ligam vértices com separação
, e que o comprimento de cada corda só depende de
(com
e
dando a mesma medida).
Passo 2
Em um polígono regular de
vértices, as cordas que unem vértices com separação
(isto é, conectam vértices cujos índices diferem em
) têm todas o mesmo comprimento, e vale
onde
é o raio do círculo circunscrito. Como
e
geram a mesma medida, só precisamos considerar
.
Passo 3
As diagonais são as cordas com
(para
temos os lados). No nosso caso
, logo
e as separações possíveis para diagonais são
. Cada um desses valores dá um comprimento distinto, pois as funções
,
,
e
são todas diferentes.
Resposta
Obtemos
medidas diferentes.