Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado
.
Passo 1
O enunciado pede para achar as medidas de todas as diagonais de um octógono regular de lado
. O conteúdo é trigonometria de polígonos regulares: vamos usar a relação entre o lado e o raio da circunferência circunscrita e a fórmula do comprimento de corda.
Passo 2
Seja
o raio da circunferência que circunscreve o octógono. Como o lado
é uma corda de ângulo central
, temos
e sabe-se que
Logo,
Passo 3
A diagonal que liga dois vértices com distância de
passos pelo perímetro (isto é, pula
vértices intermediários) tem comprimento
com
(pois para
as diagonais repetem esses comprimentos).
Passo 4
Para
:
Substituindo
, vem
Passo 5
Para
:
Logo,
Passo 6
Para
(vértices opostos):
Portanto,
Resposta
As três diagonais distintas valem