Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado ell.

Passo 1

O enunciado pede para achar as medidas de todas as diagonais de um octógono regular de lado ell. O conteúdo é trigonometria de polígonos regulares: vamos usar a relação entre o lado e o raio da circunferência circunscrita e a fórmula do comprimento de corda.

Passo 2

Seja R o raio da circunferência que circunscreve o octógono. Como o lado ell é uma corda de ângulo central tfracpi8, temos
ell = 2Rsin!l(tfracpi8r),
e sabe-se que
sin!l(tfracpi8r)=raiz2-raiz22
Logo,
R=ell2sin(pi/8) =ellraiz2-raiz2 =ellraiz2+raiz22

Passo 3

A diagonal que liga dois vértices com distância de k passos pelo perímetro (isto é, pula k-1 vértices intermediários) tem comprimento
dk = 2Rsin!l(tfrackpi8r),
com k=2,3,4 (pois para k>=5 as diagonais repetem esses comprimentos).

Passo 4

Para k=2:
d2 = 2Rsin!l(tfrac2pi8r) =2Rsin!l(tfracpi4r) =2Rcdotraiz22 =Rraiz2
Substituindo R=ellraiztfrac2+raiz22, vem
d2 = ell,raiz2;raiz2+raiz22 =ellraiz2+ raiz2

Passo 5

Para k=3:
d3 = 2Rsin!l(tfrac3pi8r) =2Rcdotraiz2+raiz22 =Rraiz2+raiz2
Logo,
d3 = ellraiz2+raiz22;raiz2+raiz2 =ellraiz3+2raiz2

Passo 6

Para k=4 (vértices opostos):
d4 = 2Rsin!l(tfrac4pi8r) =2Rsin!l(tfracpi2r) =2R
Portanto,
d4 = 2,ellraiz2+raiz22 =ellraiz4(2+raiz2)2 =ellraiz4+2raiz2

Resposta

As três diagonais distintas valem
d2 = ellraiz2+raiz2, d3 = ellraiz3+2raiz2, d4 = ellraiz4+2raiz2

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