Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
polígono de n lados, para n sendo par;

Passo 1

O enunciado pede o número de comprimentos diferentes (ou seja, “duas a duas” distintos) que aparecem ao medir todas as diagonais de um polígono regular de n lados, com n par. Para resolver, vamos usar a ideia de que cada diagonal é um cordão (chord) de um círculo circunscrito e que cordões simétricos têm o mesmo comprimento.

Passo 2

Num polígono regular de n lados inscrevemos seus vértices num círculo de raio R. Toda diagonal que liga dois vértices distantes k arestas consecutivas corresponde a um cordão cujo comprimento é
dk = 2Rsin!l(tfrackpinr)
Aqui k pode variar de 1 até n-1, mas:
  • k=1 e k=n-1 dão as arestas do polígono, não diagonais.
  • Dois índices k e n-k geram o mesmo comprimento, pois sin(tfrac(n-k)pin)=sin(pi-tfrackpin)=sin(tfrackpin).

Passo 3

As diagonais correspondem a k=2,3,dots,n-2. Devido à simetria dk=dn-k, basta tomar apenas os k com
2 ;<=; k ;<=; n2
Note que k=n2 existe porque n é par, e nesse caso dn/2 é o diâmetro do círculo (a maior das diagonais).

Passo 4

O número de inteiros de 2 até tfracn2 é
l(n2-2r)+1 ;=;n2-1
Logo obtemos exatamente tfracn2-1 comprimentos distintos de diagonal.

Resposta

n2-1

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