Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
polígono de
lados, para
sendo par;
polígono de
Passo 1
O enunciado pede o número de comprimentos diferentes (ou seja, “duas a duas” distintos) que aparecem ao medir todas as diagonais de um polígono regular de
lados, com
par. Para resolver, vamos usar a ideia de que cada diagonal é um cordão (chord) de um círculo circunscrito e que cordões simétricos têm o mesmo comprimento.
Passo 2
Num polígono regular de
lados inscrevemos seus vértices num círculo de raio
. Toda diagonal que liga dois vértices distantes
arestas consecutivas corresponde a um cordão cujo comprimento é
Aqui
pode variar de
até
, mas:
-
e dão as arestas do polígono, não diagonais. - Dois índices
e geram o mesmo comprimento, pois .
Passo 3
As diagonais correspondem a
. Devido à simetria
, basta tomar apenas os
com
Note que
existe porque
é par, e nesse caso
é o diâmetro do círculo (a maior das diagonais).
Passo 4
O número de inteiros de
até
é
Logo obtemos exatamente
comprimentos distintos de diagonal.