Determine a razão entre o perímetro do quadrado inscrito em um círculo de raio R e o perímetro do quadrado circunscrito a esse mesmo círculo.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre o perímetro do quadrado inscrito num círculo de raio
e o perímetro do quadrado circunscrito a esse mesmo círculo. Vamos usar a geometria básica que relaciona o círculo e o quadrado inscrito (vértices sobre a circunferência) e o quadrado circunscrito (lados tangentes à circunferência).
Passo 2
No quadrado inscrito, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, ou seja,
. Se chamarmos de
o lado desse quadrado, temos
Passo 3
O perímetro do quadrado inscrito é quatro vezes o seu lado:
Passo 4
No quadrado circunscrito, cada lado é tangente ao círculo e passa pelo ponto mais distante do centro, ou seja, o lado vale o diâmetro
. Chamando de
esse lado, temos
e o perímetro do quadrado circunscrito é
Passo 5
Agora, basta dividir os dois perímetros: