Determine a razão entre o perímetro do quadrado inscrito em um círculo de raio R e o perímetro do quadrado circunscrito a esse mesmo círculo.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o perímetro do quadrado inscrito num círculo de raio R e o perímetro do quadrado circunscrito a esse mesmo círculo. Vamos usar a geometria básica que relaciona o círculo e o quadrado inscrito (vértices sobre a circunferência) e o quadrado circunscrito (lados tangentes à circunferência).

Passo 2

No quadrado inscrito, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, ou seja, 2R. Se chamarmos de si o lado desse quadrado, temos
si = 2Rraiz2 = raiz2,R

Passo 3

O perímetro do quadrado inscrito é quatro vezes o seu lado:
Pi = 4,si = 4,(raiz2,R) = 4raiz2,R

Passo 4

No quadrado circunscrito, cada lado é tangente ao círculo e passa pelo ponto mais distante do centro, ou seja, o lado vale o diâmetro 2R. Chamando de sc esse lado, temos
sc = 2R,
e o perímetro do quadrado circunscrito é
Pc = 4,sc = 4,(2R) = 8R

Passo 5

Agora, basta dividir os dois perímetros:
PiPc = 4raiz2,R8R = 4raiz28 = raiz22

Resposta

raiz22

Exercícios de Livros Relacionados