Quantas soluções inteiras tem a equação x1+x2+x3+x4+x5=20, se cada xi é tal que xi >= 3 forall i in1,2,3,4,5 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras da equação
x1+x2+x3+x4+x5=20
sujeitas a ,xi>=3 para todo iin1,2,3,4,5. O conteúdo aqui é o método de “estrelas e barras” com restrição inferior.

Passo 2

Para eliminar a condição mínima xi>=3, fazemos a mudança de variável
yi=xi-3, i=1,dots,5
Como xi>=3, obtemos yi>=0.

Passo 3

Substituindo em x1+cdots+x5=20, tem-se
(y1+3)+cdots+(y5+3)=20
ou seja
y1+cdots+y5+15=20 Longrightarrow y1+cdots+y5=5,
com yi>=0.

Passo 4

O número de soluções não-negativas de
y1+cdots+y5=5
é dado pela fórmula de “estrelas e barras” para k=5 variáveis e soma n=5:
binomn+k-1k-1 =binom5+5-15-1 =binom94

Passo 5

Calculando a combinação:
binom94 =9cdot8cdot7cdot64cdot3cdot2cdot1 =126

Resposta

O número de soluções inteiras é 126.

Exercícios de Livros Relacionados