Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21se x_{i}, i=1,2,3,4,5, é um número inteiro não negativo, tal que
x_{i} \geq 2 para i=1,2,3,4,5 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21
com a restrição \,x_{i}\ge2 para todo i.
O conteúdo envolvido é o método de “estrelas e barras” (com limites inferiores).

Passo 2

Para lidar com o limite inferior x_{i}\ge2, definimos
y_{i}=x_{i}-2\quad\Longrightarrow\quad y_{i}\ge0.
Substituindo na soma, temos
(y_{1}+2)+(y_{2}+2)+(y_{3}+2)+(y_{4}+2)+(y_{5}+2)=21
ou seja
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}=21-5\cdot2=11.

Passo 3

Agora contamos as soluções não negativas de
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}=11.
Pelo princípio de estrelas e barras, o número de soluções é
\binom{11+5-1}{5-1}.

Passo 4

Calculamos
\binom{15}{4} =\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =1365.

Resposta

1365

Exercícios de Livros Relacionados