Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21se x_{i}, i=1,2,3,4,5, é um número inteiro não negativo, tal que
0 \leq x_{1} \leq 3,1 \leq x_{2}<4 e x_{3} \geq 15 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21
sujeitas a
0 \le x_{1}\le 3,\quad 1\le x_{2}<4,\quad x_{3}\ge15,\quad x_{4},x_{5}\ge0.
O conteúdo é contagem de soluções inteiras com limites, usando “estrelinhas e barras” (stars and bars) mais tratamento de restrições.

Passo 2

Eliminamos as cotas inferiores definindo
y_{1}=x_{1},\quad y_{2}=x_{2}-1,\quad y_{3}=x_{3}-15,\quad y_{4}=x_{4},\quad y_{5}=x_{5}.
Então y_{1}\ge0 com y_{1}\le3, y_{2}\ge0 com y_{2}\le2, e y_{3},y_{4},y_{5}\ge0. A equação vira
y_{1}+(y_{2}+1)+(y_{3}+15)+y_{4}+y_{5}=21 \quad\Longrightarrow\quad y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}=5.

Passo 3

Para cada escolha de y_{1}=i 0\le i\le3 e y_{2}=j 0\le j\le2, o restante y_{3}+y_{4}+y_{5}=5-i-j tem
\binom{(5-i-j)+3-1}{3-1}=\binom{5-i-j+2}{2}
soluções não negativas. Logo o total é
N \;=\;\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{2}\binom{7-(i+j)}{2},
onde só contamos os pares (i,j) com i+j\le5, o que ocorre para todos 0\le i\le3,\;0\le j\le2.

Passo 4

Agrupando por k=i+j, ocorre que para k=0,1,2,3,4,5 há respectivamente 1,2,3,3,2,1 pares e
\binom{7-k}{2}=\frac{(7-k)(6-k)}2.
Assim
N =\sum_{k=0}^{5}\bigl(\#\{i+j=k\}\bigr)\binom{7-k}{2} =1\cdot21+2\cdot15+3\cdot10+3\cdot6+2\cdot3+1\cdot1 =106.

Resposta

106

Exercícios de Livros Relacionados