Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
em que x_{i}, i=1,2,3,4,5,6, é um número inteiro não negativo, tal que
x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 2, x_{3} \geq 3, x_{4} \geq 4, x_{5}>5 e x_{6} \geq 6 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
sob as restrições
x_{1}\ge1,\;x_{2}\ge2,\;x_{3}\ge3,\;x_{4}\ge4,\;x_{5}>5,\;x_{6}\ge6.
Aqui usamos o método de substituição para retirar os limites inferiores e depois o princípio de “estrelas e barras” para contar composições.

Passo 2

Como x_{5}>5 é equivalente a x_{5}\ge6, introduzimos
y_{i}=x_{i}-a_{i},\quad a_{1}=1,\;a_{2}=2,\;a_{3}=3,\;a_{4}=4,\;a_{5}=6,\;a_{6}=6,
de modo que y_{i}\ge0 e
\sum_{i=1}^{6}y_{i} =\sum_{i=1}^{6}x_{i}-\sum_{i=1}^{6}a_{i} =29-(1+2+3+4+6+6)=29-22=7.

Passo 3

Contar soluções não negativas de
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}=7
é clássico de “estrelas e barras”. O número de soluções é
\binom{7+6-1}{6-1} =\binom{12}{5} =792.

Resposta

792

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