Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
em que x_{i}, i=1,2,3,4,5,6, é um número inteiro não negativo, tal que
x_{i}>1 para i=1,2,3,4,5,6 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
sujeitas a x_{i}>1 para i=1,\dots,6.
Isso é um problema de combinatória que podemos resolver com o método de “estrelas e barras” após ajustar a condição x_{i}>1.

Passo 2

Como cada x_{i}>1 e inteiro, podemos definir
y_{i}=x_{i}-2,\quad y_{i}\ge0.
Substituindo na soma,
\sum_{i=1}^{6}x_{i}=29 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{6}(y_{i}+2)=29 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{6}y_{i}=29-12=17.

Passo 3

Agora contamos as soluções não negativas de
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}=17.
Pelo teorema de “estrelas e barras”, o número de soluções é
\binom{17+6-1}{6-1}=\binom{22}{5}.

Passo 4

Calculando
\binom{22}{5} =\frac{22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} =\frac{3\,160\,080}{120} =26\,334.

Resposta

26\,334

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