Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21se x_{i}, i=1,2,3,4,5, é um número inteiro não negativo, tal que
0 \leq x_{1} \leq 10 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções não negativas inteiras da equação\r
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21\r
com a restrição 0\le x_{1}\le 10. Vamos usar o método de Stars and Bars (Bolas e Caixas), tratando primeiro o valor de x_{1} e depois contando as configurações das demais variáveis.

Passo 2

Suponha que x_{1}=k, com k variando de 0 até 10. Então restam as variáveis x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\ge0 satisfazendo\r
x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21-k.\r
Pelo princípio de Stars and Bars, o número de soluções não negativas dessa equação é\r
\binom{(21-k)+4-1}{4-1} \;=\;\binom{24-k}{3}.

Passo 3

Portanto, o total desejado é a soma para k=0,1,\dots,10:\r
\sum_{k=0}^{10}\binom{24-k}{3}.

Passo 4

Fazendo a troca de índice j=24-k, quando k vai de 0 a 10, j vai de 24 a 14. Assim,\r
\sum_{k=0}^{10}\binom{24-k}{3} =\sum_{j=14}^{24}\binom{j}{3}.\r
Usamos a identidade de somação\r
\sum_{r=0}^{n}\binom{r}{3}=\binom{n+1}{4},\r
para escribir\r
\sum_{j=14}^{24}\binom{j}{3} =\sum_{r=0}^{24}\binom{r}{3}-\sum_{r=0}^{13}\binom{r}{3} =\binom{25}{4}-\binom{14}{4}.

Passo 5

Agora, calculamos os dois binomiais:
\binom{25}{4} =\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =12650,
\binom{14}{4} =\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =1001.
Logo,\r
\binom{25}{4}-\binom{14}{4} =12650-1001 =11649.

Resposta

O número de soluções possíveis é 11649.

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