Há quantas soluções possíveis para a equação
se
, é um número inteiro não negativo, tal que
?
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções não negativas inteiras da equação\r
com a restrição
. Vamos usar o método de Stars and Bars (Bolas e Caixas), tratando primeiro o valor de
e depois contando as configurações das demais variáveis.
Passo 2
Suponha que
, com
variando de
até
. Então restam as variáveis
satisfazendo\r
Pelo princípio de Stars and Bars, o número de soluções não negativas dessa equação é\r
Passo 3
Portanto, o total desejado é a soma para
:\r
Passo 4
Fazendo a troca de índice
, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim,\r
Usamos a identidade de somação\r
para escribir\r
Passo 5
Agora, calculamos os dois binomiais:
Logo,\r
Resposta
O número de soluções possíveis é
.