Há quantas soluções possíveis para a equação
em que
, é um número inteiro não negativo, tal que
e
?
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções não negativas
de
com as restrições
e
.
O conteúdo usado será o princípio de “stars and bars” (barras e estrelas), junto com o método de inclusão-exclusão para impor limites em variáveis.
O conteúdo usado será o princípio de “stars and bars” (barras e estrelas), junto com o método de inclusão-exclusão para impor limites em variáveis.
Passo 2
Para tratar a condição
, fazemos a mudança de variável
de modo que
e
.
Passo 3
Substituindo
na soma total, obtemos
ou seja
com
e ainda a restrição
(pois
).
Passo 4
Sem a limitação
, o número de soluções não negativas de
é dado por
Passo 5
Agora subtraímos as soluções em que
. Definimos
logo a equação passa a ser
O total dessas soluções “proibidas” é
Passo 6
Fazemos a diferença entre o total sem restrição em
e as soluções com
: