Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
em que x_{i}, i=1,2,3,4,5,6, é um número inteiro não negativo, tal que
x_{1}<8 e x_{2}>8 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções não negativas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}) de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
com as restrições \,x_{1}<8 e \,x_{2}>8.
O conteúdo usado será o princípio de “stars and bars” (barras e estrelas), junto com o método de inclusão-exclusão para impor limites em variáveis.

Passo 2

Para tratar a condição x_{2}>8, fazemos a mudança de variável
y_{2}=x_{2}-9,
de modo que y_{2}\ge0 e x_{2}=y_{2}+9.

Passo 3

Substituindo x_{2}=y_{2}+9 na soma total, obtemos
x_{1} + (y_{2}+9) + x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} = 29
ou seja
x_{1}+y_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} = 20,
com x_{1},y_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}\ge0 e ainda a restrição x_{1}\le7 (pois x_{1}<8).

Passo 4

Sem a limitação x_{1}\le7, o número de soluções não negativas de
x_{1}+y_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} = 20
é dado por
\binom{20+6-1}{6-1} \;=\;\binom{25}{5}.

Passo 5

Agora subtraímos as soluções em que x_{1}\ge8. Definimos
z_{1}=x_{1}-8,\quad z_{1}\ge0,
logo a equação passa a ser
z_{1}+y_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} = 20-8 = 12.
O total dessas soluções “proibidas” é
\binom{12+6-1}{6-1} \;=\;\binom{17}{5}.

Passo 6

Fazemos a diferença entre o total sem restrição em x_{1} e as soluções com x_{1}\ge8:
\binom{25}{5}-\binom{17}{5} \;=\;53130-6188 \;=\;46942.

Resposta

46942

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