Há quantas soluções possíveis para a equação
em que
, é um número inteiro não negativo, tal que
?
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
com a restrição
.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de “stars and bars” (barras e estrelas) para contagem de soluções inteiras não negativas e o princípio de inclusão-exclusão para impor o limite em .
O conteúdo que vamos usar é a técnica de “stars and bars” (barras e estrelas) para contagem de soluções inteiras não negativas e o princípio de inclusão-exclusão para impor o limite em
Passo 2
Primeiro contamos todas as soluções sem a restrição
. Num sistema
o número de soluções é dado por
Passo 3
Agora subtraímos as soluções que violam
, ou seja, aquelas com
. Fazemos a mudança de variável
, mantendo
. A soma vira
cujas soluções são
Passo 4
Pela inclusão-exclusão, o número desejado é
Podemos também calcular numericamente:
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Resposta
O número de soluções é
.