Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
em que x_{i}, i=1,2,3,4,5,6, é um número inteiro não negativo, tal que
x_{1} \leq 5 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=29
com a restrição \,x_{1}\le5.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de “stars and bars” (barras e estrelas) para contagem de soluções inteiras não negativas e o princípio de inclusão-exclusão para impor o limite em x_{1}.

Passo 2

Primeiro contamos todas as soluções sem a restrição x_{1}\le5. Num sistema
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=29,\quad x_{i}\ge0,
o número de soluções é dado por
\binom{29+6-1}{6-1} \;=\;\binom{34}{5}.

Passo 3

Agora subtraímos as soluções que violam x_{1}\le5, ou seja, aquelas com x_{1}\ge6. Fazemos a mudança de variável \,y_{1}=x_{1}-6\ge0, mantendo x_{2},\dots,x_{6}\ge0. A soma vira
y_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=29-6=23,
cujas soluções são
\binom{23+6-1}{6-1} \;=\;\binom{28}{5}.

Passo 4

Pela inclusão-exclusão, o número desejado é
\binom{34}{5}-\binom{28}{5}.
Podemos também calcular numericamente:
\binom{34}{5}=278256,\quad \binom{28}{5}=98280,
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278256 - 98280 = 179976.

Resposta

O número de soluções é \displaystyle \binom{34}{5}-\binom{28}{5}=179976.

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