Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, qual é o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa?
Passo 1
O enunciado pede o número mínimo de peças entre calças e paletós para que, combinando-as de duas em duas (uma calça e um paletó), o mágico tenha pelo menos 24 trajes distintos. O conteúdo-chave é contagem de combinações: se ele tem
calças e
paletós, o total de conjuntos possíveis é
.
Passo 2
Vamos chamar de
o número de calças e de
o número de paletós. Como todos têm cores distintas entre si e ele não repete combinações, cada par (calça, paletó) é único, dando
trajes possíveis.
Passo 3
Queremos que
e, ao mesmo tempo, minimizar
Passo 4
Examinando pares
inteiros que satisfaçam
e calculando
, temos por exemplo:
,
,
,
,
.
Passo 5
O menor valor de
obtido é
, que ocorre para
(24 trajes) ou
(25 trajes).
Resposta
10 peças.