De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 3 pessoas?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 8 pessoas distintas em duas salas distintas, de modo que cada sala tenha pelo menos 3 pessoas.
O conteúdo aqui é contagem de distribuições com restrição de tamanho de grupo, usando coeficientes binomiais.

Passo 2

Sejam k o número de pessoas na sala A e 8-k o número na sala B. A restrição “cada sala com pelo menos 3 pessoas” exige
k >= 3 e 8 - k >= 3 ;Longrightarrow; 3 <= k <= 5
Para cada kin3,4,5, escolhemos quais k pessoas vão para a sala A de binom8k maneiras, e o resto vai para a sala B.

Passo 3

O total de distribuições é
sumk=3^5 binom8k =binom83+binom84+binom85 =56 + 70 + 56 =182

Resposta

182

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