Quantos são os divisores exatos de 10^99, não múltiplos de 10^88 ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de divisores exatos de 10^99 que não sejam múltiplos de 10^88.
O conteúdo necessário é a fatoração em potências de primos e a contagem de divisores usando a fórmula de divisor de um número na forma p^n q^m.

Passo 2

Fatoramos
10^99 = 2^99cdot 5^99
Um divisor genérico de 10^99 é da forma 2^a 5^b com 0 <= a,b <= 99. Pela fórmula de contagem de divisores, o total de divisores é
(99+1)times(99+1) = 100times100 = 10000

Passo 3

Agora contamos quantos desses divisores são múltiplos de 10^88=2^885^88.
Um divisor 2^a5^b é múltiplo de 10^88 se e somente se a>= 88 e b>= 88.
Portanto a pode assumir 99-88+1=12 valores e o mesmo vale para b, dando
12times12 = 144
divisores múltiplos de 10^88.

Passo 4

Para encontrar os divisores de 10^99 que não são múltiplos de 10^88, subtraímos do total:
10000 - 144 = 9856

Resposta

9856

Exercícios de Livros Relacionados