Determine um número N, sabendo que é um quadrado perfeito, que tem 9 divisores e que, dividido por 11, gera um quociente primo e resto igual a 9.

Passo 1

O enunciado pede um inteiro N que seja um quadrado perfeito, tenha exatamente 9 divisores positivos e, ao dividir por 11, produza quociente primo e resto 9. Para resolver, vamos usar:
  1. Critério de quadrado perfeito e contagem de divisores via fatoração em primos.
  2. Congruências módulo 11 e condição de quociente primo.

Passo 2

Seja
N = prodi=1^m pi^ai
com pi primos distintos. Como N é quadrado perfeito, todos os ai são pares. O número de divisores é
prodi=1^m (ai+1)=9
As únicas fatorações de 9 em inteiros maiores que zero são 9, 3times3 e 1times9, levando a duas estruturas para N:
  1. N = p^8.
  2. N = p^2q^2 com pneq q primos.

Passo 3

Analisemos primeiro N = p^8. A condição Nequiv9pmod11 exige
p^8equiv9pmod11
Testando primos pnot=11 vemos que pequiv7pmod11 ou pequiv4pmod11, mas 4 não é primo, então p=11k+7. Então
N = p^8;, Q=N-911=p^8-911
Como p^8 é ímpar e maior que 9, p^8-9 é par e >2, logo Q é par e >1, ou seja, composto. Portanto não há primo Q nesse caso.

Passo 4

Agora N = p^2q^2=(pq)^2. A congruência Nequiv9pmod11
(pq)^2equiv9pmod11Longrightarrow pqequiv3 ou 8pmod11
Escrevendo pq=11kpm3, o quociente ao dividir N por 11 é
Q=(pq)^2-911=(pq-3)(pq+3)11
Para Q ser primo, um dos fatores (pq-3) ou (pq+3) dividido por 11 deve valer 1, pois caso contrário Q é produto de inteiros >1.
  • Se pqequiv3pmod11 então pq=11cdot1+3=14.
  • A outra possibilidade pqequiv8pmod11 não leva a produto primo.
    Logo pcdot q=14 e, sendo p<q primos, p=2 e q=7.

Passo 5

Com p=2 e q=7 obtemos
N=2^2cdot7^2=196,
e dividindo por 11:
196=11cdot17+9,
onde 17 é primo. Todas as condições são satisfeitas.

Resposta

196

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