Determine um número
, sabendo que é um quadrado perfeito, que tem 9 divisores e que, dividido por 11, gera um quociente primo e resto igual a 9.
Passo 1
O enunciado pede um inteiro
que seja um quadrado perfeito, tenha exatamente 9 divisores positivos e, ao dividir por 11, produza quociente primo e resto 9. Para resolver, vamos usar:
- Critério de quadrado perfeito e contagem de divisores via fatoração em primos.
- Congruências módulo 11 e condição de quociente primo.
Passo 2
Seja
com
primos distintos. Como
é quadrado perfeito, todos os
são pares. O número de divisores é
As únicas fatorações de 9 em inteiros maiores que zero são
,
e
, levando a duas estruturas para
:
-
. -
com primos.
Passo 3
Analisemos primeiro
. A condição
exige
Testando primos
vemos que
ou
, mas
não é primo, então
. Então
Como
é ímpar e maior que 9,
é par e
, logo
é par e
, ou seja, composto. Portanto não há primo
nesse caso.
Passo 4
Agora
. A congruência
dá
Escrevendo
, o quociente ao dividir
por 11 é
Para
ser primo, um dos fatores
ou
dividido por 11 deve valer 1, pois caso contrário
é produto de inteiros
.
- Se
então . - A outra possibilidade
não leva a produto primo.
Logoe, sendo primos, e .
Passo 5
Com
e
obtemos
e dividindo por 11:
onde
é primo. Todas as condições são satisfeitas.