Um número é uma potência de 3. Dividindo-o por 81, o número de divisores fica sendo a metade do número de divisores primitivo. Qual é o número dado?

Passo 1

O enunciado diz que um número é uma potência de 3 e que, ao dividirmos esse número por 81, o número de divisores do quociente fica sendo metade do número de divisores do número original. Beleza? Vamos chamar esse número de n=3^k.

Passo 2

Para uma potência de primo geral p^a, o número de divisores é a+1. No nosso caso, como n=3^k, temos
d(n)=k+1

Passo 3

Como 81=3^4, o quociente é
n81=3^k-4,
desde que k>=4. Logo o número de divisores desse quociente é
dl(tfracn81r)=(k-4)+1=k-3

Passo 4

O problema afirma que
dl(tfracn81r)=tfrac12,d(n)
Substituindo as expressões que achamos, vem
k-3=k+12

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
2k-6=k+1Longrightarrow k=7
Portanto
n=3^7

Resposta

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